第六章6.3.1二项式定理（配套练习）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第三册同步课时教师用书word（人教A版2019）

6.3 二项式定理 课时7　二项式定理  A组　基础巩固 1. [2018·全国Ⅲ卷]的展开式中x4的系数为 (　　) A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【解析】 由题可得Tr+1=·(x2)5-r·=·2r·x10-3r,令10-3r=4,则r=2,所以·2r=·22=40.故选C. 【答案】 C 2. (1+x)6的展开式中x2的系数为(　　) A. 15 B. 20 C. 30 D. 35 【解析】 (1+x)6展开式的通项Tr+1=xr,所以(1+x)6的展开式中x2的系数为1×+1×=30.故选C. 【答案】 C 3. 的展开式中的常数项为 (　　) A. B. - C. D. - 【解析】 的展开式的通项为Tr+1=x6-r·=,令6-r=0,解得r=4,故T5=×=.故选A. 【答案】 A 4. 若251-a能被7整除,则a的值可能为 (　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【解析】 251=(23)17=(7+1)17=717·10+…+71·116+70·117.故7除251的余数为1.故选B. 【答案】 B 5. (多选)已知(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法中正确的有 (　　) A. 展开式中奇数项的二项式系数和为256 B. 展开式中第6项的系数最大 C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中含x15项的系数为45 【解析】 对于A,由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知n=10,又展开式的各项系数之和为1 024,即当x=1时,(a+1)10=1 024,解得a=1,所以二项式=(x2+)10,二项式系数和为210=1 024,奇数项的二项式系数和为×1 024=512,故A错误;对于B,由n=10可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,因为x2与的系数均为1,故该二项展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确;对于C,若展开式中存在常数项,由通项Tr+1=x2(10-r),可得2(10-r)-r=0,解得r=8,故C正确;对于D,由通项Tr+1=x2(10-r),可得2(10-r)-r=15,解得r=2,所以系数为=45,故D正确.故选BCD. 【答案】 BCD 6. 在二项式的展开式中,若常数项为-10,则a=　　　　.  【解析】 的展开式的通项Tr+1=(ax2×=a5-r,令10-=0,得r=4,所以a5-4=-10,解得a=-2. 【答案】 -2 7. [2021·山东省济南市莱芜第一中学高三期中]已知正整数n≥8,若(1-x)n的展开式中不含x5,则n的值为　　　　.  【解析】 因为(1-x)n展开式的通项公式为(-1)rxr,则(1-x)n展开式中x4的系数为,x6的系数为,所以(1-x)n=x(1-x)n-x-1(1-x)n,所以要使展开式中不含x5,所以=,得n2-9n-10=0,又n≥8,所以n=10. 【答案】 10 8. 求二项式的展开式中的有理项(x的指数为整数的项). 【解析】 通项公式为 Tr+1=()8-r= ,r=0,1,2,…,8.当为整数,即r=2,5,8时是有理项,有理项为第3,6,9项,即T3=··x0=7;T6=··x-4=-x-4;T9=··x-8=x-8. B组　综合运用 9. 若的展开式中含有常数项,则正整数n的最小值为 (　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【解析】 Tr+1=(x6)n-r=,当Tr+1是常数项时,6n-r=0,即n=r,又n∈N*,故n的最小值为5.故选C. 【答案】 C 10. [2022· 新高考Ⅰ卷改编题](x+y)8的展开式中x2y6的系数为 (　　) A. 28 B. -28 C. 84 D. -84 【解析】 因为(x+y)8=(x+y)8-(x+y)8,所以(x+y)8的展开式中含x2y6的项为x2y6-x3y5=-28x2y6,(x+y)8的展开式中x2y6的系数为-28.故选B. 【答案】 B 11. [2022·浙江省杭州市第四中学高二期中]已知(x2+1)(2x-1)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9(x∈R),则a1=　　　　.  【解析】 令t=x-1,则x=t+1,所以(x2+1)(2x-1)7=(t2+2t+2)(2t+1)7=a0+a1t+a2t2+…+a9t9,(2t+1)7的展开式的通项公式为Tr+1=27-rt7-r,r=0,1,2,…,7,所以a1=2+2×2=30. 【答案】 30 12. 求证:对于任意不小于3的自然数,不等式2n≥2n+1成立. 【解析】 当n≥3时,2n=(1+1)