第六章6.2.2二项式系数的性质（配套练习）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第三册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时8　二项式系数的性质  A组　基础巩固 1. 已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为 (　　) A. 212 B. 211 C. 210 D. 29 【解析】 因为(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以=,解得n=10,所以二项式(1+x)10中奇数项的二项式系数和为×210=29. 故选D. 【答案】 D 2. [2021·江苏省常州市高三期中]已知(1-2x)2 021=a0+a1x+…+a2 021x2 021,则+++…+等于 (　　) A. -2 B. -1 C. 0 D. 2 【解析】 根据题意,令x=0,得a0=(1-0)2 021=1,令x=,得(1-1)2 021=a0+++…+,因此+++…+=-a0=-1.故选B. 【答案】 B 3. [2022·湖南省长沙市高三模拟改编题]若的展开式中的二项式系数之和为64,则该展开式中y3的系数是 (　　) A. 15 B. -15 C. 20 D. -20 【解析】 由题意得2n=64,n=6,因此Tr+1=·=,令6-r=0,r-3=3,得r=4,因此展开式中y3的系数是=15.故选A. 【答案】 A 4. [2021·河北省唐山市第十中学高三期中]若(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+…+(1+x)2 022=a0+a1x+a2x2+…+a2 012x2 022,则a3等于 (　　) A. B. C. D. 【解析】 由条件可知,a3为展开式中x3的系数,则a3=+++…+=+++…+=++…+=+…+=…=+=.故选C. 【答案】 C 5. 已知(2x2+x-y)n的展开式中各项系数的和为32,则展开式中x5y2的系数为 (　　) A. 120 B. 30 C. 240 D. 60 【解析】 由题意,(2x2+x-y)n的展开式中各项系数的和为32,即(2+1-1)n=32,解得n=5.已知(2x2+x-y)5=[(2x2+x)-y]5的通项公式为Tr+1=·(-y)r(2x2+x)5-r,由展开式中含有x5y2,可知r=2,且(2x2+x)3的展开式中有含x5的项,由通项公式,可得=(2x2)3-txt=23-tx6-t,令t=1,得x5的系数为22.所以展开式中,x5y2的系数为××22=120.故选A. 【答案】 A 6. 在(2x+)5的展开式中,x3的二项式系数是　　　　,系数是　　　　.  【解析】 (2x+)5的展开式的通项为(2x)5-r·()r=25-r(r=0,1,2,…,5),令5-=3,得r=4,所以x3的二项式系数是=5,系数是2=10. 【答案】 5　10 7. 已知(x+2)(x-1)4=a0+a1(x+1)+…+a5(x+1)5,则a1+a3+a5=　　　　.  【解析】 在已知式中,令x=0,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=2×(-1)4=2　①,令x=-2,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=0　②,①-②得2(a1+a3+a5)=2,所以a1+a3+a5=1. 【答案】 1 8. 在二项式的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.求: (1) 展开式中的常数项; (2) 展开式中各项的系数和. 【解析】 展开式的通项为Tr+1=(r=0,1,2,…,n).因为,,成等差数列,所以 2×=1+,解得n=8(n=1舍去).　(1) 令r=4,T5==. (2) 在二项式中令x=1,各项系数和为=. B组　综合运用 9. [2022·安徽省池州市高二月考]在(x-2y)6的展开式中,设二项式系数和为A,各项系数和为B,x的奇次幂项的系数和为C,则等于 (　　) A. - B. C. - D. 【解析】 在(x-2y)6的展开式中,二项式系数和A=26=64.令x=y=1,得各项系数和B=(-1)6=1.令f(x)=(x-2)6,得x的奇次幂项的系数和C===-364,所以=-=-.故选A. 【答案】 A 10. [2022·江苏省苏州市常熟外国语学校高二阶段练习]关于多项式的展开式,下列结论中正确的是 (　　) A. 各项系数之和为1 B. 各项系数的绝对值之和为212 C. 存在常数项 D. x3的系数为40 【解析】 由题意,令x=1可得,各项系数之和为26,故A错误;因为合并同类项时正负系数相消,所以多项式的展开式各项系数的绝对值之和小于多项式的展开式各项系数之和,故令x=1,得展开式各项系数之和为212,故B错误;由=,易知该多项式的展开式中一定存在常数项,故C正确;由题中的多项式可知,若出现x3,可能的组合只有·(-x)3和·(-x)4,结合排列组合的性质,可得x3的系数为×13××20×(-1)3+×11