第七章7.3.2离散型随机变量的方差（配套教参）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第三册同步课时教师用书word（人教A版2019）

7.课时5　离散型随机变量的方差  1. 通过具体实例,理解取有限值的离散型随机变量的方差与标准差的概念. 2. 结合具体问题,使学生能熟练掌握离散型随机变量方差与标准差的计算方法并能解决一些实际问题. 课程目标 学科核心素养 理解离散型随机变量的方差、标准差的概念和性质,能够根据离散型随机变量的分布列求出方差、标准差 通过类比样本方差的计算,理解离散型随机变量方差的概念和性质,培养逻辑推理和数学抽象素养 运用离散型随机变量的方差解决一些相关的实际问题 通过运用离散型随机变量的方差进行一些决策、推断,解决实际问题,培养数学抽象、数学建模等素养 为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额,4个球除所标面值外完全相同.商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能或由标有面值10元和50元的两种球组成(甲),或由标有面值20元和40元的两种球组成(乙).为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获得奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由. 【提示】 根据离散型随机变量均值的计算方法,可得E(X甲)=E(X乙),因此需要引入其他统计量进行决策. 设计意图　通过生活中的回馈摸奖背景,体现概率统计单元内容的应用背景,同时使学生进一步提出新的疑问,这样的设计符合学生的认知规律,激发学生的学习兴趣,提高学习效率. 任务1　理解离散型随机变量的方差与标准差的概念和意义  活动1　建立样本方差和离散型随机变量方差的关系  问题1　要从两名射击运动员中选出一人去参加比赛,现进行选拔赛,每名队员各射击100次,统计结果如下: 环数 6 7 8 9 10 甲射中的频数 2 6 7 60 25 乙射中的频数 3 4 13 50 30 甲乙两人谁的射击水平更高呢? 【提示】 通过计算发现平均数都是9,可以通过计算样本的方差观察研究对象的稳定性。 甲方差:×[2×(6-9)2+6×(7-9)2+7×(8-9)2+60×(9-9)2+25×(10-9)2]=0.74; 乙方差:×[3×(6-9)2+4×(7-9)2+13×(8-9)2+50×(9-9)2+30×(10-9)2]=0.86.说明甲成绩更稳定. 问题2　当样本数据增加时,频率会趋近于概率,那么如何计算下列表格中的甲、乙平均射击成绩? 环数 6 7 8 9 10 甲射中的频率 0.02 0.06 0.07 0.6 0.25 乙射中的频率 0.03 0.04 0.13 0.5 0.3 【提示】 甲方差:0.02×(6-9)2+0.06×(7-9)2+0.07×(8-9)2+0.6×(9-9)2+0.25×(10-9)2=0.74, 乙方差:0.03×(6-9)2+0.04×(7-9)2+0.13×(8-9)2+0.5×(9-9)2+0.3×(10-9)2=0.86. 问题3　如何理解问题2中的计算方法? 【提示】 相当于问题1中先去中括号,即频率=.样本增多时,频率接近于概率,样本均值接近于随机变量均值,于是离散型随机变量的波动情况可以用(x1-E(X))2p1+…+(xn-EX)2pn来计算. 设计意图　从熟悉的背景引入,运用“旧知”——样本方差的概念解决问题,在解决的过程中提出新的理解问题的角度,自然地引入了“新知”. 活动2　获得离散型随机变量方差标准差  问题4　你能抽象出离散型随机变量方差和标准差的定义吗? 【提示】 给出一般情况:若离散型随机变量X的分布列如表所示. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 方差D(x)=(x1-E(X))2p1+…+(xn-E(X))2pn, 标准差σ(X)=. 设计意图　从具体事例中抽象出离散型随机变量方差的概念,培养学生从特殊到一般的数学思想方法. 任务2　理解离散型随机变量方差的性质  活动3　从实例出发理解离散型随机变量方差的性质  问题5　抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,则得分X的方差D(X)=　　　　.  【提示】 P(X=1)=,P(X=-1)=,所以E(X)=1×+(-1)×=0,D(x)=(1-0)2×+(-1-0)2×=1 问题6　将问题5所得分数的2倍加1作为得分分数Y,求Y的方差. 【提示】 P(Y=3)=,P(Y=-1)=,所以E(Y)=3×+(-1)×=1,D(Y)=(3-1)2×+(-1-1)2×=4 设计意图　在具体实例中理解方差的概念,熟悉计算方法. 活动4　证明离散型随机变量方差的性质