第七章7.1.2全概率公式（配套教参）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第三册同步课时教师用书word（人教A版2019）

　全概率公式  1. 通过日常生活中的实例,结合古典概型,了解利用概率的加法公式与乘法公式推导出全概率公式的过程,为解决一类概率问题奠定基础. 2. 引导学生从实际需要出发通过不同的情境,理解全概率公式,并能利用全概率公式进行相关的概率计算. 3. 结合具体实例了解贝叶斯公式,并能利用贝叶斯公式进行简单的计算. 课程目标 学科核心素养 结合古典概型,了解利用概率的加法公式与乘法公式推导出全概率公式的过程 通过推导全概率公式的过程理解全概率公式,培养逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模等素养 结合实例,理解全概率公式的内涵,并会利用全概率公式计算概率 通过运用全概率公式解决问题,感受数学模型在数学应用中的价值,培养逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算等素养 通过不同实例进行简单数学模型辨析,进而了解贝叶斯公式,并能运用贝叶斯公式进行简单的计算 通过运用贝叶斯公式解决问题,培养将相关问题转化为对应概率模型的能力,培养逻辑推理、数学建模等素养 某生物试验用小鼠进行传染性病毒感染率的检测. 在试验仓中混养了10只小白鼠(大小一致、外观无差异),其中3只感染、7只健康,试验员从中先后随意各取1只(不放回)进行检测,确定第二次取到感染小鼠时该试验仓标记为污染仓,那么实验员第二次取到的是感染小鼠的概率为多少? 设计意图　通过生物试验情境引导学生用数学的眼光分析问题,对实际问题进行数学抽象,建立数学模型,利用已经学习过的概率加法和乘法公式思考问题并解决问题. 任务1　全概率公式概念建构  活动1　借助古典概型体会全概率公式并计算事件的概率  问题1　情景导学中第一次取到感染小鼠的概率为多少?在试验中第二次取到感染小鼠的情况有多少种? 【提示】 第一次取到感染小鼠的概率为;第二次取到感染小鼠有两种情况:第一次取到感染小鼠第二次也取到感染小鼠,第一次未取到感染小鼠而第二次取到感染小鼠. 问题2　你能用已学的概率知识计算第二次取到感染小鼠的概率吗? 【提示】 记事件A,B分别表示第一、二次取到的是感染小鼠,则Ω=,则P(B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|),由题设易知P(A)=,P()=,P(B|A)=,P(B|)=,于是P(B)=×+×=. 设计意图　结合具体的古典概型实例,引导学生将求解复杂事件B的概率问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题. 问题3　通过上面的运算我们看到第二次取到感染小鼠的概率与第一次取到感染小鼠的概率是相同的.如果小鼠足够多,感染小鼠有a只,未感染小鼠有b只,按上述方式抽取2次,第2次取到感染小鼠的概率与第1次取到感染小鼠的概率相同吗?如何证明? 【提示】 用Ri表示事件“第i次抽到感染小鼠”,Bi表示事件“第i次抽到未感染小鼠”,i=1,2.如图1. 图1 事件R2可按第1次可能的抽到小鼠结果(感染或未感染)表示为两个互斥事件的并,即R2=R1R2∪B1R2,利用概率的加法公式和乘法公式,得P(R2)=P(R1R2∪B1R2)=P(R1R2)+P(B1R2)=P(R1)·P(R2|R1)+P(B1)P(R2|B1)=×+×==P(R1). 设计意图　引导学生体会从数学角度分析事件,认识全概率公式为概率论中的重要公式,它将对一复杂事件B的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.即P(B)=P(Ai)P(B|Ai) 活动2　抽象全概率公式,会用数学符号表示  问题4　随机事件A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω.且P(Ai)>0,i=1,2,…,n.若B⊆Ω,则其中的概率P(B|Ai),P(B),P(Ai)之间是否存在数量关系呢?若有,则它们的关系是怎样的? 【提示】 回顾条件概率、概率乘法、概率加法运用的条件,易得P(B)=P(Ai)P(B|Ai). 问题5　以i=3为例,请画出事件的Venn图? 【提示】 Venn图如图2.由条件概率,概率的加法、乘法公式,一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪A3∪…∪An=Ω且P(Ai)>0,i=1,2,3…n,则对于任意事件B⊆Ω,有P(B)=P(Ai)·P(B|Ai),这个公式我们称为全概率公式. 图2 问题6　请概括适用全概率公式计算概率的事件所需满足的条件. 【提示】 (1) A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,并且可以构成一个完备的事件组,其并为全集,即A1∪A2∪A3∪…∪An=Ω.(2) 已知事件B的发生有各种可能的情形,如果事件B发生是由原因Ai(i=1,2,…,n) 所引起的,则事件B发生的概率P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai),每一原因都可能导致B发生,故B发生的概率是各原因Ai(i=1,2,…,n)引