第六章小结与复习（配套教参）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第三册同步课时教师用书word（人教A版2019）

第六章小结与复习 一、 知识网络·体系构建 二、 主题归纳·综合提升 主题1　计数原理的应用  (1) 若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.函数解析式为y=x2,值域为{1,4}的所有“同族函数”的个数为 (　　) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 (2) 有红、黄、蓝旗各3面,每次升1面、2面或3面,在旗杆上纵向排列,表示的信号不同,顺序不同则表示的信号不同,一共可以组成的信号有　　　　种.  (1) 先分步,再求定义域;(2) 按照升旗面数的不同分类讨论. (1) 由题意知,问题的关键在于确定函数定义域的个数,所以分两步:第一步,先确定函数值1对应的定义域中的元素,因为当y=1时,x=1或x=-1,所以有3种情况,即{1},{-1},{1,-1};第二步,确定函数值4对应的定义域中的元素,因为当y=4时,x=2或x=-2,所以有3种情况,即{2},{-2},{2,-2}.由分步乘法计数原理得,共有3×3=9(个).故选C.　(2) 每次升1面旗可组成3种不同的信号,每次升2面旗可组成3×3=9种不同的信号,每次升3面旗可组成3×3×3=27种不同的信号.根据分类加法计数原理,一共可以组成3+9+27=39种不同的信号. (1) C　(2) 39 变式训练1 [2021·江苏省苏州市高二月考改编题]若一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2,且a2>a3,则称这样的三位数为“凸数”(如120,343,275等),那么所有“凸数”的个数为 (　　) A. 240 B. 204 C. 729 D. 920 若a2=2,则百位数字只能选1,个位数字可选1或0,“凸数”为120与121,共2个;若a2=3,则百位数字有两种选择,个位数字有三种选择,则“凸数”有2×3=6(个).若a2=4,满足条件的“凸数”有3×4=12(个);……;若a2=9,满足条件的“凸数”有8×9=72(个).所以所有“凸数”有2+6+12+20+30+42+56+72=240(个).故选A. A 点评总结　对于一些比较复杂的需要综合运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图或列出表格,使问题更加直观、清晰.当两个原理混合使用时,一般是先分类,在每类方法里再分步.考查逻辑推理与数学运算素养. [2022·江西省吉安市第一中学高二阶段练习改编题]5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子中至少有一个球,若甲球必须放入A盒,则不同的放法种数是　　　　.  对于题中有一些特殊的元素,在解题时,不妨采用特殊优先讨论处理. 将甲球放入A盒后分两类,一类是除甲球外,A盒还放其他球,共=24(种),另一类是A盒中只有甲球,则其他4个球放入另外的三个盒中,有·=36(种).故不同的放法种数是24+36=60. 60 变式训练2 若a,b∈{-1,0,1,2},则使得关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为 (　　) A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 当a=0时,关于x的方程为2x+b=0,此时有序数对(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2)均满足要求;当a≠0时,Δ=4-4ab≥0,ab≤1,此时满足要求的有序数对为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0).综上所述,满足要求的有序数对共有13个.故选B. B 点评总结　对题中的特殊条件进行分类讨论,可以降低整道题的思维难度,后续根据题意对其余条件进行分类或分步处理,最后将不同分类的情况进行求和. 设计意图　无论分类还是分步,都是为了完成某件事,若这件事完成的过程中有一些特殊的情况,则我们需要对这些特殊的情况单独进行讨论.应用两个计数原理首先要弄清楚先分类还是先分步.分类要做到“不重不漏”,正确把握分类标准.分步要做到步骤完整,步步相连. 主题2　排列、组合的综合应用  例3 如图,图案共分9个区域,有6种不同颜色的涂料可供涂色,每个区域只能涂1种颜色的涂料,其中2和9同色,3和6同色,4和7同色,5和8同色,且相邻区域的颜色不相同,则不同的涂色方法有 (　　) A. 360种 B. 720种 C. 780种 D. 840种 分析各区域的相邻情况,可知一共需要涂5种颜色. 首先从6种不同颜色的涂料中选出4种分别涂2和9、3和6、4和7、5和8八块区域,共有种涂法,然后根据条件可知,只需从余下的两种不同颜色的涂料中选一种涂区域1即可,有2种涂法,所以满足要求的涂法有2×=720(种).故选B. B 　变式训练3 变式训练3 如图,有A,B,C,D四个区域,用红、黄、蓝三种颜色涂色,