第六章6.3.1二项式定理（配套教参）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第三册同步课时教师用书word（人教A版2019）

6.3 二项式定理 课时7　二项式定理  1. 理解二项式定理,会用计数原理证明二项式定理. 2. 熟练掌握二项式的展开式、展开式的通项.并会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 课程目标 学科核心素养 理解二项式定理,会用计数原理证明二项式定理. 通过对二项式定理的学习,培养逻辑推理素养. 熟练掌握二项展开式及其通项,并会运用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 通过运用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题,培养数学运算与逻辑推理素养. 情景1:二项式定理最初用于开高次方.在中国,成书于1世纪的《九章算术》提出了世界上最早的多位正整数开平方、开立方的一般程序.11世纪中叶,贾宪在其《解锁算书》中给出了“开方作法本原图”,满足了三次以上开方的需要.此图即为到六次幂的二项式系数表,其中第i层即为(a+b)i-1展开式的系数.但是贾宪并未给出二项式系数的一般公式,因而未能建立一般正整数次幂的二项式定理.13世纪,杨辉在其《详解九章算法》(1261)中引用了此图,并注明了此图出自贾宪的《解锁算书》.贾宪的著作已经失传,而杨辉的著作流传至今,所以今称此图为“贾宪三角”或“杨辉三角”. 图1 情景2:桶里有大小相同,质地相同的a,b两小球,有放回地取两次,有几种不同的取法?请分别用列举法、分类计数原理、分步计数原理进行分析. 【提示】 列举法:aa,ba,ab,bb共4种. 分类加法计数原理:第一类,都取a,1种;第二类,取不同,2种;第三类,都取b,1种.故共4种. 分步乘法计数原理:第一步,第一次取球有两种方法;第二步,第二次取球有两种方法.故一共有2×2=4种方法. 设计意图　从数学史出发,到现实摸球的实验,引出新课,激发学生学习兴趣,符合数学问题认知的规律. 任务1　二项式定理  活动1　探究二项式定理  问题1　由初中多项式乘法法则,我们知道(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,那么(a+b)4=? 【提示】 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 问题2　怎样得到(a+b)4的展开式呢? 【提示】 我们就这样来研究(a+b)4的展开式.(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 问题3　请想一想:展开式的项有哪些?每一项的系数怎样得到? 【提示】 (a+b)4的展开式中每一项都是从(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)的每个括号中各取一个字母的乘积.项有a4,a3b,a2b2,ab3,b4. 问题4　每一项的系数是怎样得到的呢? 【提示】 每个括号都取a,不取b,只有一种取法,所以a4的系数是1;如果4个括号中3个括号取a,1个括号取b,就有=4种取法,所以a3b系数是;同理可得a2b2,ab3,b4的系数分别为,,.如果我们以取出b的个数来计算的话,各项系数分别为,,.,.由此可得(a+b)4=a4+a3b+a2b2+ab3+b4. 问题5　对于(a+b)n(n∈N*)的展开式,怎样研究呢? 【提示】 把(a+b)n看成(a+b)n=(a+b)(a+b)…(a+b)(n个括号). 合并同类项后(a+b)n展开式中不同的单项式有:an,an-1b,an-2b2,…,an-rbr,…,bn. an的系数——每个括号都不取b,有种,即an的系数为; an-1b的系数——恰有1个括号取b,有种,即an-1b的系数为; an-2b2的系数——恰有2个括号取b,有种,即an-2b2的系数为; …… an-rbr的系数——恰有r个括号取b,有种,即an-rbr的系数为. …… bn的系数——都取b,有种,即bn的系数为. 故(a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn. 这个等式叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,其中各项的系数(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数. 设计意图　创设问题情境,激发学生探究欲望,然后引导学生从特殊到一般推导得出二项式定理.培养学生数学抽象、逻辑推理核心素养. 任务2　二项展开式的特点及通项  活动2　探究二项展开式的特点及通项  问题6　(a+b)n的二项展开式共有多少项?每一项的次数是多少? 【提示】 二项展开式共有n+1项,每一项的次数都是n次. 问题7　(a+b)n的二项展开每一项的系数是多少?每一项的字母的次数有什么规律? 【提示】 第k+1项的系数为,我们把称为第k+1项的二项式系数.a按照降幂排列,次数由n到0,b按照升幂排列,次数由0到n. 问题8　二项展开式的第k+1项如何表示? 【提示】 (a+b)n的