第六章6.2.4组合数（配套教参）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第三册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时6　组合数  1. 能在组合的基础上理解组合数的定义和表示,并能区别组合和组合数. 2. 理解并掌握组合数公式,并能利用公式求具体问题的组合数. 课程目标 学科核心素养 理解组合数的定义和计算公式 通过对组合数概念的学习,培养数学抽象素养 能运用排列、组合知识解决实际计数问题 通过解决实际问题,培养逻辑推理、数学运算、数学建模素养 情景一:从 a,b,c 三个不同的元素中取出两个元素的所有的组合有多少种? 【提示】 ab,ac,bc.3种 情景二:从a,b,c,d四个不同的元素中取出两个元素的所有的组合有多少种? 【提示】 ab,ac,ad,bc,bd,cd.6种 上面两个问题中,通过一一列举得到符合要求的组合的个数,但是随着元素个数的增加,一一列举变得越来越复杂甚至变得不可能.那么能否像排列数一样,找到一个用来计算组合个数的公式,根据公式方便地计算出组合的个数呢? 设计意图　设置问题情境,激发学生学习兴趣,并引出新课. 任务1　理解组合数概念  活动1　特例感知,抽象归纳概念  问题1　从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动,有多少种不同的选法? 【提示】 3种.我们把3叫做3个不同元素中取出2个的组合数,记作. 问题2　组合与组合数有什么区别? 【提示】 组合是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组”,它不是一个数;组合数是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”,它是一个正整数,用表示. 设计意图　引导学生获得组合数的定义与组合数的符号表示,并用组合数的符号表示上一节的问题中涉及的组合数.让学生学以致用,为下面学习和推导组合数公式作为铺垫. 任务2　探究组合数公式  活动2　从特殊到一般探究组合数公式  问题3　从4个元素中取出3个元素的排列数与从4个元素中取出3个元素的组合数之间有什么关系? 【提示】 从4个元素中取出3个的排列数为=24,以“相同元素”为标准,将这24个元素分组,一共有4组,因此从a,b,c,d 4个元素中任取3个元素的所有组合数=4. 图1 通过图1可以发现,求排列数也可以分为以下两个步骤:(1) 从4个元素中取出3个元素作为一组,共有种不同的取法;(2) 将取出的3个元素做全排列,共有种不同的排法.根据分步乘法计数原理,=,所以,=. 问题4　组合数与排列数之间有什么关系? 【提示】 求从n个元素中取出m个元素的排列数可以通过以下两个步骤得到.(1) 从n个元素中取出m个元素作为一组,共有种不同的取法;(2) 将取出的m个元素做全排列,共有种不同的排法;根据分步乘法计数原理,=,所以,=. 问题5　你能由排列数公式得到组合数公式吗? 【提示】 ==,其中m≤n.因为=,则=m≤n.规定:=1. 设计意图　利用排列数公式及分步乘法计数原理推导组合数公式,深化了对排列与组合的理解和认识.培养学生逻辑推理、数学运算核心素养. 任务3　探究组合数的性质  活动3　证明组合数的两个性质  问题6　等式=成立吗?为什么? 【提示】 成立.从n个不同元素中取出m个元素后,剩下(n-m)个元素,因此从n个不同元素中取出m个元素的组合,与剩下的(n-m)个元素的组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数,等于从这n个不同元素中取出(n-m)个元素的组合数,即=. 问题7　等式+=成立吗?你能给出证明吗? 【提示】 成立.在确定从(n+1)个不同元素中取m个元素的方法时,对于某一元素,只存在着取或不取两种可能,若取这一元素,则需从剩下的n个元素中再取出(m-1)个元素,所以共有种,若不取这一元素,则需从剩下的n个元素中取出m个元素,所以共有种,由分类加法计数原理得=+. 知识梳理 1. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示. 2. 组合数公式 ==,其中m≤n.因为=,所以=,规定:=1. 3. 组合数的两个性质: (1) =;(2) +=. 知识点排列数公式、组合数公式 重难点排列数公式、组合数公式的综合应用 (1) (+)÷的值为 (　　) A. 6 B. 101 C. D. (2) 解不等式:>. 合理选择组合数公式,进行计算、化简. (1) (+)÷=(+)÷=÷()==.故选C.　(2) 由>,得⇒⇒又因为n∈N*,所以该不等式的解集为{6,7,8,9}. (1) C　(2) 见解析 方法规律:组合数公式的选择 (1) 在利用组合数公式进行计算、化简时,要灵活选择组合数公式. (2) 组合数公式=的主要作用:一是计算m,n较大时的组合数;二是对含有字母的组合数的式子进行变形和证明. (3) 关注组合数中的隐含条件:m≤n,且m,n∈N*,