第六章6.2.2排列数（配套教参）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第三册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时4　排列数  1. 能在排列的基础上理解排列数的定义和表示,并能区别排列和排列数. 2. 理解并掌握排列数公式,并能利用公式求具体问题的排列数. 课程目标 学科核心素养 理解排列数的定义和计算公式 通过排列数概念的学习,培养数学抽象素养 能用排列数公式求具体问题的排列数 通过解决问题,培养逻辑推理、数学运算、数学建模素养 从3个不同的元素a,b,c中任意取出2个,按一定顺序排成一列,一共有多少种不同的排列方法?怎样计算排列数呢? 设计意图　从上一节课的问题引入,从学生的最近发展区出发提出新问题,提升学习兴趣. 任务1　排列数概念  活动1　特例感知,形成概念  问题1　从3个不同的元素a,b,c中任意取出2个,按一定顺序排成一列,求一共有多少种不同的排列方法. 【提示】 选出2个元素,并且有前后顺序,可以分2个步骤:第1步,确定排位在前的元素,从3个中任选1个元素,有3种选法;第2步,确定排位在后的元素,从剩下的2个中去选,有2种选法.根据分步乘法计数原理,不同的选法种数为3×2=6.我们把6就叫做3个不同的元素中任意取出2个元素的排列数. 问题2　你能把排列数的概念推广到一般情形吗? 【提示】 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示. 设计意图　从特殊到一般,从具体到抽象,培养学生数学抽象核心素养. 任务2　排列数公式   活动2　等价转化,探究新知  问题3　如何计算从n个不同元素中取出2个元素的排列数呢? 【提示】 假设有排好顺序的两个空位,从n个不同元素中选取2个元素去填空,一个空位填上1个元素,每一种填法就得到一个排列;反之,任何一种排列总可以由这种填法得到.因此,所有不同填法的种数就是排列数.分两步完成:第一步,填第1个位置的元素,可以从n个不同元素中任取1个,有n种选法;第二步,填第2个位置的元素,可以从剩下的(n-1)个不同元素中任取1个,有(n-1)种选法;根据分步乘法计数原理,2个空位的填法总数为=n(n-1). 问题4　如何计算从n个不同元素中取出3个元素的排列数呢? 【提示】 同理,求排列数可以按照依次填3个空位的方法来考虑,有=n(n-1)(n-2). 问题5　如何计算从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的排列数呢? 【提示】 求排列数可以按照依次填m个空位的方法来考虑;第一步:从n个不同元素中任选一个填在第1位,有n种选法;第二步:从剩下的(n-1)个不同元素中任选一个填在第2位,有(n-1)种选法;第三步:从剩下的(n-2)个不同元素中任选一个填在第3位,有(n-2)种选法……第m步:从剩下的[n-(m-1)]个不同元素中任选一个填在第m位,有[n-m+1]种选法;根据分步乘法计数原理,m个空位的填法种数为n(n-1)(n-2)…[n-(m+1)].所以=n(n-1)(n-2)…(n-m+1).正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,记作n!,可以把n个不同的元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列.此时,排列数公式中m=n,即有=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1,写成=n!,规定:0!=1.因此,=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)===.对公式补充说明:(1) 排列数公式中连乘积的特点是第一个因数是n,后面每一个因数都比它前面一个因数少1,最后一个因数是n-m+1,共有m个因数相乘.(2) 一般来说,在直接进行具体计算时,选用连乘积形式较好;当对含有字母的排列数的式子进行变形、解方程或论证时,采用阶乘形式较好. 知识梳理 1. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示. 2. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的排列数=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=. 知识点排列数的概念及排列数公式 重难点排列数公式的应用 (1) 计算:和; (2) 用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N*且n<55); (3) 用排列数表示n(n+1)(n+2)…(n+m). 根据排列数公式计算、化简. (1) =15×14×13=2 730,=6×5×4×3×2×1=720.　(2) 因为55-n,56-n,…,69-n中的最大数为69-n,且共有(69-n)-(55-n)+1=15个数,所以(55-n)(56-n)…(69-n)=.　(3) 由排列数公式可知,n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+m)=. 方法规律:排列数公式的选择 (1) 排列数公式的乘积形式适用于计算排列数. (2) 排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题,具体应用时注意阶乘的性质,提取公因式可以