第六章6.2.2二项式系数的性质（配套教参）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第三册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时8　二项式系数的性质  1. 通过具体实例,区分二项式系数与系数的概念. 2. 引导学生用函数观点分析处理二项式系数具体问题. 3. 理解和掌握二项式系数的性质,并会简单应用. 课程目标 学科核心素养 理解二项式系数与项的系数的概念 通过对两个系数概念的学习辨析,培养数学抽象素养 掌握二项式系数的性质 通过学习二项式系数的性质,培养逻辑推理与数学运算素养 能运用二项式系数的性质解决具体问题 通过对二项式系数的性质的应用,培养数学运算与逻辑推理素养 　图1 杨辉,字谦光,汉族,钱塘(今浙江省杭州市)人,杰出的数学家.他在1261年所著《详解九章算法》一书中,辑录了如图1的三角形数表,该数表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”,我们来研究下“杨辉三角”里面数字排列的规则. 上节课我们学习了二项式定理: (a+b)n=an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn,n∈N* 观察展开式每一项的二项式系数与“杨辉三角”的每一层的数之间的关系. 设计意图　从上一节课所学二项式定理出发,结合“杨辉三角”让学生直观感知二项式系数的特点,为后面的探究做铺垫. 任务1　区分二项式系数与系数的概念  活动1　探究二项式系数与系数的区别  问题1　上一课时我们学习了二项式定理,可以解决类似(a+b)n的展开式问题,那么你会写(1+2x)3的展开式吗? 【提示】 (1+2x)3=13(2x)0+12(2x)1+11(2x)2+10(2x)3. 问题2　此展开式每一项的二项式系数分别是什么? 【提示】 ,,, 问题3　你能写出此展开式每一项的系数吗? 【提示】 1,6,12,8 问题4　二项式系数与系数相同吗? 【提示】 不同,二项展开式中每一项的组合数(k=0,1,2,…,n)为二项式系数,每一项中的数字因数叫做这一项的系数. 设计意图　通过具体实例让学生区分二项式系数与系数两个数学概念的不同. 任务2　探究二项式系数的性质  活动2　探究二项式系数的性质  问题5　你能写出n=1,2,3,4时,(a+b)n展开式各项的二项式系数吗? 【提示】 n (a+b)n的展开式的二项式系数 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 问题6　观察这些二项式系数,与情景导学中的“杨辉三角”中各行的数字有什么关系? 【提示】 相等 问题7　那你能直接写出当n=5时,各项的二项式系数吗? 【提示】 1,5,10,10,5,1 问题8　观察“杨辉三角”中每一行数有什么特点? 【提示】 1. 除第1行外,每一行的两端都是1,其余每个数都等于它“肩上”两个数的和;2. 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即=;3. 二项式系数先增后减中间项最大. 问题9　你能求出二项展开式各二项式系数的和吗? 【提示】 在二项式定理中,令a=b=1,可得+++…+=2n. 设计意图　通过从特殊到一般,找出规律,得到猜想,再进行验证,让学生体会解决数学问题的一般思想方法. 知识梳理 1. 二项展开式中每一项的组合数(k=0,1,2,…,n),称为二项式系数,每一项的数字因数叫做这一项的系数. 2. 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即=. 3. 增减性与最大值:二项式系数先增后减,中间项的二项式系数最大.当n为偶数时,中间一项,即第+1项的二项式系数最大,最大值为;当n为奇数时,中间两项,即第项和项的二项式系数相等且最大,最大值为或. 4. 各二项式系数的和为+++…+=2n. 知识点二项式定理 重难点二项式系数与项的系数的区别 [2022·上海市实验学校高二期中改编题]在的展开式中,前3项的系数成等差数列.求: (1) 正整数n的值; (2) 展开式中二项式系数最大的项; (3) 展开式中x-2的系数. 区分二项式系数和系数的概念,求特定项利用通项公式求解. (1) 因为前3项的系数成等差数列,且前三项系数为,,,所以=+,即n2-9n+8=0,所以n=1(舍去)或n=8.　(2) 因为n=8,所以展开式中二项式系数最大的项为第五项,即T5=()4=x.　(3) 展开式的通项为Tr+1=()8-r=,0≤r≤8,r∈N.令4-=-2,所以r=8,可得展开式中x-2的系数为×=. 方法规律:二项式系数与系数的注意点: (1) 二项式系数都是组合数 (r=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念. (2) 第r+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为.例如,在(1+2x)7的展开式中,第四项是T4 =14(2x)3,其二项式系数是=35,而第四项