第四章 4.2.1等差数列的概念（配套练习）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

第四章　数列 4 4.2　等差数列 A组　基础巩固 1. [2021· 北京市东直门中学高二月考]已知数列{an}为等差数列,a4=2,a7=-4,那么数列{an}的通项公式为 (　　) A. an=-2n+5 B. an=-2n+10 C. an=-n+10 D. an=-n+5 【解析】 设等差数列的公差为d.因为a4=2,a7=-4,所以解得所以an=a1+(n-1)d=8-2(n-1)=10-2n.故选B. 【答案】 B 2. 在等差数列{an}中,已知a3=9,a9=3,则公差d的值为 (　　) A. B. 1 C. -1 D. - 【解析】 在等差数列中,a3=9,a9=3,则a9=a3+6d,即3=9+6d,解得d=-1,故选C. 【答案】 C 3. 已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是 (　　) A. 8 B. 6 C. 4.5 D. 3 【解析】 因为m+2n=8,2m+n=10,所以3m+3n=18,所以m+n=6,所以m和n的等差中项是=3.故选D. 【答案】 D 4. 已知x≠y,数列x,a1,a2,y与x,b1,b2,b3,y都是等差数列,则的值是 (　　) A. B. C. D. 【解析】 因为数列x,a1,a2,y和x,b1,b2,b3,y都成等差数列,所以y=x+3(a2-a1),y=x+4(b2-b1),所以3(a2-a1)=4(b2-b1),所以=.故选A. 【答案】 A 5. (多选)[2021·江苏省南京市高二单元测试]设{an}是等差数列,则下列结论中不正确的有 (　　) A. 若a1+a2>0,则a2+a3>0 B. 若a1+a3<0,则a1+a2<0 C. 若0<a1<a2,则a2> D. 若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0 【解析】 选项A,由于a2+a3=(a1+a2)+2d,故a2+a3的正负不能由 a1+a2 确定,故A错误;选项B,若a1+a3<0,则a2<0,但a1+a2<0不一定成立,故B错误;选项C,由于a2是a1和a3的等差中项,再利用基本不等式,可知若0<a1<a2,则a2=>(等号不可能成立),故C正确;选项D,(a2-a1)(a2-a3)>0的含义是a2比a1,a3均大或均小,显然在等差数列中这是不可能的,故D错误.故选ABD. 【答案】 ABD 6. [教材改编题]在等差数列{an}中,a5=4,a3与a8的等差中项为,则数列{an}的通项公式是　　　　　　　　.  【解析】 因a3与a8的等差中项为,则a3+a8=9,又a5+a6=a3+a8,且a5=4,所以a6=5,即d=a6-a5=1,所以an=a5+(n-5)d=n-1,即an=n-1. 【答案】 an=n-1 7. 已知数列{an}对任意的p,q∈N*均满足ap+q=ap+aq,且a2=-4,则a6=　　　　,an=　　　　.  【解析】 数列对任意的p,q∈N*均满足ap+q=ap+aq,且a2=-4,令p=q=1,则a2=a1+a1=-4,解得a1=-2,令p=1,q=n,则an+1=an+a1,所以an+1-an=-2,所以数列是等差数列,公差为-2,所以an=-2-2(n-1)=-2n,a6=-12. 【答案】 -12　-2n 8. 在数列{an}中,已知a1=2,an=2-(n≥2,n∈N*),设bn=(n∈N*). (1) 试判断数列{bn}是否为等差数列. (2) 试证明数列{an}为单调递减数列. (3) 是不是数列{an}中的项?如果是,是第几项? 【解析】 (1) 因为an=2-,所以an+1=2-.所以bn+1-bn=-=-==1,所以数列{bn}是等差数列.　(2) 易知数列{bn}的首项b1==1,公差为1,所以bn=1+(n-1)=n,即=n,所以{an}的通项公式为an=1+.因为an+1-an=-=-==<0,所以an+1<an对任意正整数n都成立,所以数列{an}是单调递减数列.　(3) 设是数列{an}的第n项,则由(2)知an=1+,则由=1+,解得n=100.所以是数列{an}的第100项. B组　综合运用 9. [2021·山东省济南市高二月考]设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13等于 (　　) A. 120 B. 105 C. 90 D. 75 【解析】 因为a1+a2+a3=3a2=15,所以a2=5,又因为a1a2a3=80,所以a1a3=16,即(5-d)(5+d)=16,因为d>0,所以d=3,则a11+a12+a13=3a12=3(a2+10d)=105,故选B. 【答案】 B 10. (多选)已知数列{an}