第五章 5.3.3导数的应用（配套练习）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时12　导数的应用  A组　基础巩固 1. 已知实数x,y满足2x+2x<2y+2y,则(　　) A. x>y B. x=y C. x<y D. x,y的大小不确定 【解析】 设f(t)=2t+2t,所以f'(t)=2+2tln2>0,所以函数f(t)在R上单调递增,由题意得f(x)<f(y),所以x<y.故选C. 【答案】 C 2. [教材改编题]函数f(x)=exsinx在区间上的值域为 (　　) A. [1,eπ] B. [1,] C. [0,] D. [0,eπ] 【解析】 f'(x)=ex(sinx+cosx).因为x∈,f'(x)>0,所以f(x)在上单调递增,所以f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f=.故值域为[0,].故选C. 【答案】 C 3. 某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品的零售价定为P(单位:元),销量为Q(单位:件),销量Q与零售价P有如下关系:Q=8 300-170P-P2,则最大毛利润(毛利润=销售收入-进货支出)为 (　　) A. 30元 B. 60元 C. 28 000元 D. 23 000元 【解析】 设毛利润为L(P),则L(P)=PQ-20Q=(8 300-170P-P2)(P-20)=-P3-150P2+11 700P-166 000,所以L'(P)=-3P2-300P+11 700.令L'(P)=0,解得P=30或P=-130(舍去).此时,L(30)=23 000.根据实际问题的意义,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23 000元.故选D. 【答案】 D 4. 已知函数f(x)=x3-3x2+2,对于任意的x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤m,则实数m的最小值为 (　　) A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【解析】 对于任意x1,x2∈[-1,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤m,即f(x)max-f(x)min≤m,易得f'(x)=3x2-6x=3x(x-2).当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以当x=0时,f(x)max=f(0)=2,因为f(-1)=-1-3+2=-2,f(1)=1-3+2=0,所以f(x)min=-2,所以m≥f(x)max-f(x)min=4,即m的最小值为4.故选C. 【答案】 C 5. 已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为 (　　) A.　　B. C.　　D. 【解析】 因为f(x)的定义域为即{x|x>-1,且x≠0},所以排除选项D;设g(x)=ln(x+1)-x,则g'(x)=-1=,因为x+1>0,所以当x<0时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>0时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以当x<0时,f(x)单调递减;当x>0时,f(x)单调递增,故选B. 【答案】 B 6. 若函数f(x)=+1(a<0)没有零点,则实数a的取值范围是　　　　.  【解析】 f'(x)==(a<0).当x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0,所以当x=2时,f(x)有极小值f(2)=+1.若使函数f(x)没有零点,则f(2)=+1>0,解得a>-e2,因此-e2<a<0. 【答案】 (-e2,0) 7. 放射性元素由于不断从原子核放射出微粒子而变成其他元素,导致含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯⁃137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M0,其中M0为t=0时铯⁃137的含量.已知当t=30时,铯⁃137含量的变化率是-10ln2太贝克/年,则M(60)=　　　　太贝克.  【解析】 M(t)=M0,所以M'(t)=M0···ln2,所以M'(30)=-M0···ln2=-10ln2,解得M0=600,所以M(t)=600×,当t=60时,M(t)=600×=150. 【答案】 150 8. [2018·新课标全国Ⅱ卷(文)]已知函数f(x)=x3-a(x2+x+1). (1) 若a=3,求f(x)的单调区间; (2) 求证:f(x)只有1个零点. 【解析】 (1) 当a=3时,f(x)=x3-3x2-3x-3,f'(x)=x2-6x-3.令f'(x)=0,解得x=3-2或x=3+2.当x∈(-∞,3-2),(3+2,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(3-2,3+2)时,f'(x)<0.故f(x)的单调递增区间为(-∞,3-2),(3+2,+∞),单调递减区间为(3-2,3+2).　(2) 证明:因为x2+x+1>0在R上恒成立,所以f(x)=0等价于-3a=0.设g(x)=-