第五章 5.2.3简单复合函数的导数（配套练习）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时7　简单复合函数的导数  A组　基础巩固 1. 下列函数中不是复合函数的是 (　　) A. y=-x3-+1 B. y=cos C. y= D. y=(2x+3)4 【解析】 由复合函数的概念,易知A不是复合函数,BCD均是复合函数,其中B由y=cosu,u=x+复合而成,C由y=,u=lnx复合而成,D由y=u4,u=2x+3复合而成.故选A. 【答案】 A 2. 函数y=xln(2x+3)的导数为 (　　) A. y'=ln(2x+3)+ B. y'=ln(2x+3)+ C. y'=2xln(2x+3) D. y'= 【解析】 y'=(x')ln(2x+3)+x[ln(2x+3)]'=ln(2x+3)+.故选B. 【答案】 B 3. 函数f(x)=x2esinx的导数为 (　　) A. f'(x)=2xesinx+x2esinx B. f'(x)=2xesinx+x2esinxcosx C. f'(x)=2xesinx+x2ecosx D. f'(x)=2xesinx+x2ecosxsinx 【解析】 f'(x)=(x2)'esinx+x2(esinx)'=2xesinx+x2esinx·(sinx)'=2xesinx+x2esinxcosx.故选B. 【答案】 B 4. 曲线y=xex-1在点(1,1)处的切线的斜率为 (　　) A. 2e B. e C. 2 D. 1 【解析】 因为y=xex-1,所以y'=ex-1+xex-1,所以曲线在点(1,1)处切线的斜率k=y'|x=1=e0+e0=2.故选C. 【答案】 C 5. 已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则实数a的值为 (　　) A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 【解析】 设切点坐标是(x0,x0+1),依题意有由此得x0+1=0,x0=-1,a=2.故选B. 【答案】 B 6. [2022·上海市实验学校高二期末改编题]函数y=sin2x·cos3x的导数y'= 　　　　　　.  【解析】 因为y=sin2xcos3x,所以y'= (sin2x)'cos3x+sin2x(cos3x)'=2cos2xcos3x-3sin2xsin3x. 【答案】 2cos2xcos3x-3sin2xsin3x 7. 若P是曲线y=(x+1)2上任意一点,则点P到直线y=x-1的最短距离是　　　　,此时点P的坐标为　　　　.  【解析】 易知与直线y=x-1平行的y=(x+1)2的切线的切点到直线y=x-1的距离最短.设切点为P(x0,y0),则y'|=2(x0+1)=1,所以x0=-,y0=.即最短距离为点P到直线y=x-1的距离,所以距离d==. 【答案】 　 8. [教材改编题]某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位:mm)与时间t(单位:s)满足关系式y=18sin.求y在t=3 s时的导数,并解释它的实际意义. 【解析】 y=18sin可以看作y=18sinu和u=t-的复合函数,根据复合函数的求导法则,有y't=y'uu't=(18sinu)'·'=18cosu×=12πcos.当t=3时,y't=12πcos=6π.它表示当t=3 s时,弹簧振子振动的瞬时速度为6π mm/s. B组　综合运用 9. 曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为 (　　) A. B. C. D. 1 【解析】 依题意得y'=e-2x·(-2)=-2e-2x,y'|x=0=-2e-2×0=-2,所以曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x,即y=-2x+2.在坐标系中作出直线y=-2x+2,y=0与y=x的图象,如图.易得直线y=-2x+2与y=x的交点坐标是,直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是(1,0),结合图象可得这三条直线所围成的三角形的面积为×1×=.故选A. 第9题答图 【答案】 A 10. (多选)[2022·河南省濮阳市南乐第一高级中学高二月考]已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值可以是 (　　) A. B. C. D. 【解析】 根据题意可知y'='=-=-4·=4,令t=,t∈(0,1),所以y'=4(t2-t),由t∈(0,1)可知y'∈[-,0),曲线在点P处的切线的斜率范围为[-,0),所以tanα∈[-,0),又α∈[0,π),故α∈.结合各选项,可知CD符合要求.故选CD. 【答案】 CD 11. 设函数f(x)=cos(x+φ)(0<φ<π),若f(x)+f'(x)是奇函数,则φ=　　　　.  【解析】 函数f(x)的导数f'(x)=-sin(x+φ),则f(x)+f'(x)=cos(x+φ)