第五章 5.2.2导数的四则运算法则（配套练习）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

5.2　导数的运算 A组　基础巩固 1. 下列求导运算中正确的是 (　　) A. (cosx)'=-sinx B. (x3)'=x3lnx C. (ex)'=xex-1 D. (lnx)'= 【解析】 由基本初等函数的导数公式,可判断选项A正确;(x3)'=3x2,(ex)'=ex,(lnx)'=,故BCD均错误.故选A. 【答案】 A 2. 已知函数f(x)=xα(α∈Q,且α≠0),若f'(-1)=-4,则α的值为 (　　) A. 4 B. -4 C. 5 D. -5 【解析】 因为f'(x)=αxα-1,f'(-1)=α(-1)α-1=-4,解得α=4.故选A. 【答案】 A 3. 若函数f(x)=cosx,则f'+f的值为 (　　) A. 0 B. -1 C. 1 D. 2 【解析】 因为f'(x)=-sinx,所以f'+f=-sin+cos=0.故选A. 【答案】 A 4. (多选)下列各式中正确的有 (　　) A. (x7)'=7x6 B. (x-1)'=x-2 C. ()'= D. (cos2)'=-sin2 【解析】 易知AC正确;因为(x-1)'=-x-2,(cos2)'=0,所以BD错误.故选AC. 【答案】 AC 5. (多选)已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0,使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“仁爱点”.下列函数中,有“仁爱点”的有(　　) A. f(x)=x2 B. f(x)=3 C. f(x)=lnx D. f(x)= 【解析】 对于A,由f(x)=x2,得f'(x)=2x,由x2=2x,得x=0或x=2,所以函数f(x)=x2有“仁爱点”,所以A正确;对于B,由f(x)=3,得f'(x)=0,显然3≠0,所以函数f(x)=3不存在“仁爱点”,所以B错误;对于C,由f(x)=lnx,得f'(x)=(x>0),由于f(x)=lnx和f'(x)=的图象有公共点,所以方程lnx=有解,所以函数f(x)=lnx有“仁爱点”,所以C正确;对于D,由f(x)=,得f'(x)=-,由-=,得x=-1,所以f(x)=有“仁爱点”,所以D正确.故选ACD. 【答案】 ACD 6. 若曲线y=在点P(a,)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实数a的值是　　　　.  【解析】 因为y'=()'= ,所以点P处的切线方程为y-=(x-a),令x=0,得y=,令y=0,得x=-a,由题意知a≥0,所以··a=2,解得a=4. 【答案】 4 7. 已知f(x)=x2,则曲线y=f(x)过点P(-1,0)的切线方程是　 .  【解析】 设切点坐标为(x0,),因为f'(x)=2x,所以切线方程为y-0=2x0(x+1),所以=2x0(x0+1),解得x0=0或x0=-2,故所求切线方程为y=0或y=-4(x+1),即y=0或4x+y+4=0. 【答案】 y=0或4x+y+4=0 8. [教材改编题]设函数y=的图象是曲线C.求: (1) 曲线C在点M(1,1)处的切线方程; (2) 曲线C过点N(-1,0)的切线方程. 【解析】 (1) 因为y'='=-,所以y'|x=1=-1,即曲线C在点M(1,1)处的切线斜率k=-1,故所求切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.　(2) 设曲线C过点N(-1,0)的切线的切点为P(x0,y0),则其斜率为-,且y0=,此时切线方程为y-=-(x-x0),将点N(-1,0)代入,得0-=-(-1-x0),解得x0=-,从而y0=-2,即切点P,故所求切线方程为y+2=-4,即4x+y+4=0. B组　综合运用 9. 已知函数f(x)=x3的图象在某点处的切线斜率等于1,则这样的切线有 (　　) A. 1条 B. 2条 C. 多于2条 D. 不能确定 【解析】 f'(x)=3x2,设切点为(x0,),由3=1,得x0=±,即在点和点处均有斜率为1的切线,故这样的切线有2条.故选B. 【答案】 B 10. 函数y=的图象在点处的切线的倾斜角为 (　　) A. B. C. D. 【解析】 因为y'=()'=,所以切线的斜率k=y'|=1.设切线的倾斜角为α,即tanα=1,因为α∈[0,π),所以α=.故选B. 【答案】 B 11. [2022·辽宁省抚顺市第一中学高二月考]与曲线y=在点P(8,4)处的切线垂直,且过点(4,8)的直线方程为　.  【解析】 因为y=,所以y'=()'=()'=,所以f'(8)=×=,即曲线在点P(8,4)处的切线斜率为,故所求直线的斜率为-3,从而所求直线方程为y-8=-3(x-4),即3x+y-20=0. 【答案】 3x+y