第四章 4.4数学归纳法（配套练习）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

4.4*　数学归纳法 A组　基础巩固 1. 设n是正整数,在用数学归纳法证明“不等式1+++…+>成立”时,其初始值至少应取 (　　) A. n=4 B. n=6 C. n=8 D. n=10 【解析】 左边=1+++…+==2-,代入验证可知n的最小值是8.故选C. 【答案】 C 2. 用数学归纳法证明等式1+2+3+…+n2=,其中n是正整数,则当n=k+1时,左端应在n=k的基础上增添的代数式是 (　　) A. k2+1 B. (k+1)2 C. k+(k+1)2 D. (k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2 【解析】 因为当n=k时,左侧=1+2+3+…+k2,则当n=k+1时,左侧=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,所以当n=k+1时,左端应在n=k的基础上增添(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.故选D. 【答案】 D 3. 已知f(n)=12+22+32+…+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的关系是 (　　) A. f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2 B. f(k+1)=f(k)+(k+1)2 C. f(k+1)=f(k)+(2k+2)2 D. f(k+1)=f(k)+(2k+1)2 【解析】 因为f(k+1)=12+22+32+…+(2k)2+(2k+1)2+[2(k+1)]2=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2,即f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.故选A. 【答案】 A 4. 用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N*),验证n=1等式成立时,左边应取的项是 (　　) A. 1 B. 1+2 C. 1+2+3 D. 1+2+3+4 【解析】 证明1+2+3+…+(n+3)=(n∈N*),当n=1时,n+3=4,而等式左边为起始为1的连续的正整数的和,故当n=1时,等式左边的项为1+2+3+4.故选D. 【答案】 D 5. (多选)用数学归纳法证明“>对任意n≥k(n,k∈N)的自然数都成立”,则满足条件的k的值可以为 (　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】 在不等式>中,当n=1时,=,=,则<;当n=2时,=,=,则<;当n=3时,=,=,则>;当n=4时,=,=,则>.故选CD. 【答案】 CD 6. [教材改编题]求证:当n∈N*时,n=n+2. 证明:假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即k=k+2.则当n=k+1时,等式也成立. 由此得出,对任何n∈N*,等式n=n+2都成立. 以上证明过程是错误的,错误在于 　　　　.  【解析】 当n=1时,左边=1,右边=3,所以左边和右边不相等,因此,归纳假设“当n=k(k∈N*)时,等式成立”没有基础. 【答案】 缺少第一步的验证 7. [教材改编题]用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的过程如下: ① 当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立; ② 假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,则当n=k+1时,1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1.所以当n=k+1时,等式也成立. 由①②可知对于任意n∈N*,等式都成立. 上述证明,错误是　　　　　　　　.  【解析】 在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,即从n=k到n=k+1的推理不符合数学归纳法的要求. 【答案】 未用归纳假设 8. [2022·辽宁省辽南协作校高二期中改编题]用数学归纳法证明不等式++…+>,其中n是正整数. 【证明】 ① 当n=1时,左边=++=>,不等式成立.② 假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即++…+>,则当n=k+1时,有++…+=++…++++->++-.因为+-=-==>0,所以当n=k+1时不等式也成立.由①②知,对任意正整数n,都有++…+>. B组　综合运用 9. [2022·华东师范大学第二附属中学高二月考]设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立.”那么下列命题中总成立的是 (　　) A. 若f(1)<1成立,则f(10)<100成立 B. 若f(2)<4成立,则f(1)≥1成立 C. 若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立 D. 若f(4)≥16成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立 【解析】 对于A,由条件可知不等式的性质只对大于等于号成立,显然A错误;对于B,若f(1)≥1成立,则得到f(2)≥4,与f(2)<4矛盾,所以B错误;对于C,当f(3)≥9成立时,无法推导出f(1),f(2),所以C错误;对于D,若