第四章 4.3.1等比数列的概念（配套练习）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

4.3　等比数列 A组　基础巩固 1. 下列选项中一定是等比数列的是 (　　) A. 数列1,2,6,18,… B. 数列中,=2,=2 C. 常数列a,a,…,a,… D. 数列中,=q(q≠0) 【解析】 选项A,=2,=3≠2,故不是等比数列;选项B,前3项是等比数列,多于3项时,无法判断,故不一定是等比数列;选项C,当a=0时,不是等比数列;选项D,该数列符合等比数列的定义,一定是等比数列.故选D. 【答案】 D 2. 已知{an}是等比数列,且a2=2,a5=,则公比q的值为 (　　) A. - B. C. -或 D. 2或 【解析】 由题意可得q3==,解得q=.故选B. 【答案】 B 3. 在数列中,若a1=2,2an+1+an=0(n∈N*),则an等于 (　　) A. 2× B. 2× C. 2× D. 2× 【解析】 由a1=2,2an+1+an=0(n∈N*)得=-,易知数列是首项为2,公比为-的等比数列,所以an=2×.故选C. 【答案】 C 4. 已知x,y,z∈R,若-1,x,y,z,-3成等比数列,则xyz的值为 (　　) A. -3 B. ±3 C. -3 D. ±3 【解析】 因为-1,x,y,z,-3成等比数列,所以y2=xz=(-1)×(-3)=3,因为y·(-1)=x2,所以y<0,则y=-,所以xyz=-3.故选C. 【答案】 C 5. (多选)[2022·辽宁省沈阳市第八十三中学高二开学考试]在等比数列{an}中,已知a1=3,a3=27,则数列{an}的通项公式可以是 (　　) A. an=3n,n∈N* B. an=3n-1,n∈N* C. an=(-1)n-13n,n∈N* D. an=2n-1,n∈N* 【解析】 设等比数列的公比为q,由a1=3,a3=27,可得q2==9,所以q=3或q=-3.当q=3时an=3·3n-1=3n(n∈N*);当q=-3时an=3·(-3)n-1=(-1)n-1·3n(n∈N*).所以数列{an}的通项公式是an=3n(n∈N*)或an=(-1)n-1·3n(n∈N*).故选AC. 【答案】 AC 6. 已知递增等比数列{an}满足a2+a3=6a1,则{an}的前三项依次是　 .  (写出满足条件的一组即可) 【解析】 因为等比数列{an}的项an≠0,故由a2+a3=6a1得a1q+a1q2=6a1,即q+q2=6,所以q=2或q=-3.若q=2,则当a1>0时即可满足等比数列递增;若q=-3,则各项正负交替,不满足递增.取a1=1,则的前三项依次是1,2,4.答案不唯一,填首项为正数,公比为2的等比数列均可. 【答案】 1,2,4(填首项为正数,公比为2的等比数列均可) 7. [2022·河南省焦作市温县第一高级中学高二期末改编题]在等比数列{an}中,若a6+a7=8(a3+a4),则{an}的公比等于　　　　.  【解析】 设的公比为q,因为a6+a7=8(a3+a4),所以a3q3+a4q3=8(a3+a4),所以(a3+a4)(q3-8)=0,所以a3+a4=0或q3-8=0,即a3(1+q)=0或q3-8=0,所以q=-1或q=2. 【答案】 -1或2 8. 若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-λ(λ>0,n∈N*).证明数列{an}为等比数列,并求an. 【解析】 因为Sn=2an-λ(λ>0,n∈N*),当n=1时,得a1=λ,当n≥2时,Sn-1=2an-1-λ,所以Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1,所以an=2an-1,所以数列{an}是以λ为首项,2为公比的等比数列,所以an=λ·2n-1. B组　综合运用 9. [2022·河北省保定市第一中学高三一模]在等差数列中,a2=4,且a1,a3,a9构成等比数列,则公差d的值为 (　　) A. 0或2 B. 2 C. 0 D. 0或-2 【解析】 因为在等差数列中,a2=4,且a1,a3,a9构成等比数列,所以=a1a9,即(a2+d)2=(a2-d)(a2+7d),所以(4+d)2=(4-d)(4+7d),解得d=0或d=2,故选A. 【答案】 A 10. (多选)设是等比数列,则下列结论中正确的有 (　　) A. 若a1=1,a3=4,则a2=±2 B. 若a1+a3>0,则a2+a4>0 C. 若a2>a1,则a3>a2 D. 若a2>a1>0,则a1+a3>2a2 【解析】 选项A,由等比数列的性质可得=a1a3=4,可得a2=±2,故A正确;选项B,若a1+a3>0,则a2+a4=q(a1+a3),其正负由q确定,故B不正确;选项C,若a2>a1