13.3(培优课)将军饮马模型(题型精讲精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年八年级数学上学期期中期末复习讲练系列【考点闯关】（人教版）

13.3 将军饮马模型 什么是将军饮马？ 传闻在亚历山大有一位精通数学和物理的学者，名字叫海伦，有一天，一位罗马将军专程去拜访他，并向他请教一个百思不得其解的问题。 如图，将军每天从军营A出发，先到河边饮（yìn）马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使得行走的路程最短？ 据说，海伦稍加思索就解决了它，此后，这个问题就被称为“将军饮马”，并流传至今. 为了方便，接下来我们将这一系列问题简化为一般的数学问题进行再次研究. 13.3 将军饮马模型 1 一、模型搭建 1 二、分类题型 2 三、对点训练：课堂知识巩固 2 一、模型搭建 【模型】一、两定一动之点点 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 【模型】二、两定两动之点点 在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。 考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。 【模型】三、一定两动之点线 在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。 此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 二、分类题型 1. 已知，在内有一定点P，点M，N分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（　　） A． B．3 C． D． 1. 如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 1. 如图，在等边中，于，．点分别为上的两个定点且，点为线段上一动点，连接，则的最小值为 ． 1. 如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 度． 1. 如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上任意一点，则的最小值是 ． 1. 如图，在中，，的面积为12，的垂直平分线交于点F，若D为边的中点，M为线段上的一动点，则周长的最小值为 ．    1. 如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是 ． 1. 如图，等边三角形的边上的高为6，是边上的中线，M是线段上的-一个动点，E是中点，则的最小值为 ． 1. 如图，是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当的周长最小时，的度数为 ． 1. 如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是 ． 1. 如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为 ． 1. 如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是 ． 1. 如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝ °． 1. 如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ． 1. 如图，在中，边的垂直平分线交于点D，若， (1)求的长； (2)若点P是直线上的动点，直接写出的最小值为_________． 三、对点训练：课堂知识巩固 1. （2022秋•如东县期末）如图，边长为的等边中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是　　 A． B． C． D． 1. （2023•明水县模拟）如图，在锐角三角形中，，，的平分线交于点，，分别是和上的动点，当取得最小值时，　　 A．2 B．4 C．6 D．8 1. （2023春•驿城区期末）如图，在等腰中，，是边上的高，点是高上任意一点，点是边上任意一点，，，，则的最小值是　　 A．3 B．5 C． D． 1. （2023春•碑林区校级期末）如图，，，点为上一定点，点为上一动点，，为上两动点，当最小时，　　 A． B． C． D． 1. （2023春•