12.4(培优课)全等中的手拉手模型(题型精讲精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年八年级数学上学期期中期末复习讲练系列【考点闯关】（人教版）

12.4 “手拉手”解决全等问题 共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下： （1）寻找公共的顶点 （2）列出两组相等的边或者对应成比例的边 （3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。 两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形 *常见结论： 连接BD、AE交于点F，连接CF，则有以下结论： （1） （2） （3） （4） 12.4 “手拉手”解决全等问题 1 一、模型搭建 2 二、分类题型 2 三、对点训练：课堂知识巩固 2 一、模型搭建 手拉手模型的定义：两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。 手拉手模型特点：“两等腰，共顶点” 模型探究： 左手拉左手，右手拉右手 二、分类题型 1．如图，在ABC中，AB=AC=2，∠BAC=，D为线段BC边上的动点，以BD为边向上作等边BED，连接CE、AD，则AD+CE的最小值为（    ） A．4 B．2+6 C．+3 D．6 2．如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（    ） A．∠AOB=60° B．AP=BQ C．PQ∥AE D．DE=DP 3．如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤． 恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上） 4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接BC'，BC'的延长线交AB'于点D，则BD的长为 ． 5．在与中，，，．    (1)如图1，若点D，B，C在同一直线上，连接，，则与的关系为________． (2)如果将图1中的绕点B在平面内顺时针旋转到如图2的位置，那么请你判断与的关系，并说明理由 (3)如图3，若，，连接，分别取，，的中点M，P，N，连接，，，将绕点B在平面内顺时针旋转一周，请直接写出旋转过程中的面积最大值和最小值． 6．如图，已知是等边三角形，过点作（），且，连接、．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)点在腰上，连接交于点，若，求证：． 7．【了解概念】 定义：两条对角线相等的凸四边形叫做等线四边形，两条对角线所夹锐角为60°的等线四边形叫做强等线四边形． 【理解运用】 （1）下列四边形中，一定是等线四边形的是_____（只填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 【拓展提升】 （2）如图，中，分别以，为边向外作菱形和菱形，且，连接，，，对角线，交于点H，，交于点M，，交于点N． 求证：四边形是强等线四边形    8．在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、． (1)如图1，点在线段上，如果，则__________度．    (2)如图2，当点在线段上，如果，则__________度．    (3)如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．    (4)设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明． 9．如图1，在等腰直角三角形中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．    (1)观察猜想： 图1中，线段与的数量关系是__________，的大小是__________； (2)探究证明： 把绕点顺时针方向旋转到图2的位置，连接、、，判断的形状，试说明理由； (3)拓展延伸： 把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 10．如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 11．如图，正方形和正方形（其中），的延长线与直线交于点H． (1)如图1，当点G在上时，求证：； (2)将正方形绕点C旋转一周． ①如图2，当点E在直线右侧时，判断的数量关系并证明； ②当时，若，请直接写出线段的长． 12．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现：①的度数为 ；②线段、之间的数量关系为 ； 【类比探究】 （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断 的度数以及线段、、之间的数量关系，