12.3(培优课)倍长中线(题型精讲精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年八年级数学上学期期中期末复习讲练系列【考点闯关】（人教版）

12.3 倍长中线 倍长中线的定义 倍长中线：延长底边的中线，使所延长部分与中线相等.一般情况下，倍长中线后，往往需要连接相应的顶点，构造全等三角形，则全等三角形对应角、对应边都对应相等。 倍长中线在几何中的作用 在平面几何题证明中，用倍长中线法作辅助线一般都是题目条件有中线时考虑用这种方法，此法常用于平面几何构造全等三角形或平行四边，然后利用中线的性质进而证明对应边之间的关系。 12.3 倍长中线 1 一、模型搭建 2 二、分类题型 3 三、对点训练：课堂知识巩固 3 一、模型搭建 1、倍长中线型：题目中存在中点、三角形的中线，需要证明线段之间的关系，直接倍长中线. 2、类倍长中线型：题目中存在中点，不存在三角形的中线，但是存在与中点有关的线段（类中线），当需要证明线段之间的关系时，我们将与中点有关的线段延长一倍，称为类倍长中线. 中点模型，提到中点，我们需要想到关于中点的以下知识点：①三角形中线平分三角形面积，等分点等分面积；②等腰三角形“三线合一”的性质；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④三角形中位线平行且等于第三边的一半. 这四点使我们已经深入学习过的有关中点运用的知识点，今天重点在结合四点的基础上探究另外一种中点模型，我们简称“平中对模型”，即“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型，与倍长中线法相通。 二、分类题型 1．如图，中，，是中线，有下面四个结论： ①与的面积相等； ②； ③若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），连接，，则的面积比的面积大； ④点，是，所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，，则． 所有正确结论的序号是（　　） A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①③④ 2．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 3．如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为 ． 4．如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则 ． 5．如图，在中，，，求边上中线的范围为 ． 6．如图，，，，，点M为的中点，， ． 7．如图，中，，，，为边的中点，则 ． 8．如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝ ． 9．我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    (1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系． 在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ． 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明． (2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由． 10．已知和都是等腰直角三角形，，连接，点F为中点．    (1)如图1，求证：； (2)将绕C点旋转到如图2所示的位置，连接，过C点作于M点． ①探究和的关系，并说明理由； ②连接，求证：F，C，M三点共线． 11．【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段至点E，使，连接．请根据小明的方法回答下列问题． (1)由已知和作图能得到的理由是____________． A．        B．        C．        D． (2)探究得出的取值范围___________． A．        B．        C．        D． 【问题解决】 (3)如图2，在中，，，是的中线，求证：． 12．小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值 范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)小明证明用到的判定定理是： (用字母表示)； (2)的取值范围是 ； (3)小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在中，为边上的中线，且平分，求证：． 13．正方形 ，点E为平面内一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到