第四章 4.3.1等比数列的概念（配套教参）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

4.3　等比数列 课时7　等比数列的概念(1)  1. 理解等比数列、等比中项的概念,进一步体会从特殊到一般的认知规律. 2. 掌握等比数列的通项公式的推导过程,培养观察、分析、归纳、推理的能力. 3. 理解、掌握等比数列的公比及通项公式,能用基本量法求解一些简单问题,培养数学应用意识. 课程目标 学科核心素养 理解等比数列、等比中项的概念 通过具体实例,概括等比数列、等比中项的概念,培养数学抽象素养 掌握等比数列的通项公式的推导过程,理解等比数列和指数函数的关系 通过归纳推理完成等比数列通项公式的推导,理解函数与数列的关系,培养数学抽象、逻辑推理素养 能够运用等比数列的通项公式及等比中项的性质解决简单问题 借助具体实例,用基本量法及等比中项的性质求解一些简单问题,培养数学运算、逻辑推理素养 情境1:《孙子算经》中有这样一个问题:出门见九堤,每堤有九木,每木有九巢,每巢有九鸟,每鸟有九雏,每雏有九毛,每毛有九色,共有几堤,几木,几巢,几鸟,几雏,几毛,几色?结果可以构成怎样的数列? 【提示】 9,92,93,94,95,96,97. 情境2:如图1为谢尔宾斯基三角形,着色的小三角形个数依次构成一个数列的前5项,依此规律,第6幅图有多少个小三角形?可以得到怎样的数列?如果假设第一个三角形中的面积为1,则图中每个三角形中黑色部分的面积又可以构成怎样的数列? 图1 【提示】 第6个三角形中有35个小三角形,可以得到的数列为1,31,32,33,34,…,图中每个三角形中黑色部分的面积构成的数列为1,,,,,… 请观察情境中的这几个数列,它们有什么共同特点呢? 【提示】 对于这三个数列,从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,这个常数分别为9,3和. 设计意图　情境1以数学史作为引入,激发学生的学习兴趣和爱国热情;情境2的谢尔宾斯基三角形在教材上数列的递推公式中已经学过,但没有点出是等比数列,在这里介绍可以起到前后呼应的作用.引导学生首先分析每个数列的特点,再总结这三个数列的共同特点,培养观察、归纳能力,由此引出本节课的课题——等比数列. 任务1　探究等比数列的概念  活动1　探究等比数列的概念  问题1　观察下列4个数列,归纳它们的共同特点. ① 1,2,4,8,16,…; ② 1,,,,,…; ③ 1,1,1,1,…; ④ -1,1,-1,1,…. 【提示】 从第2项起,每一项与前一项的比是同一个常数. 问题2　若数列{an}满足an+1=2an(n∈N*),那么{an}是等比数列吗? 【提示】 不一定.当a1=0时,按上述递推关系,该数列为常数列,且常数为0,故{an}不一定为等比数列. 设计意图　通过活动1,从特殊到一般归纳等比数列的概念,让学生体会知识的形成过程,培养抽象概括能力. 任务2　理解等比中项的概念  活动2　探究等比中项的概念  问题3　任意两个非零常数都有等比中项吗?若有,有几个? 【提示】 当ab>0时,a,b的等比中项有两个,且这两个数互为相反数;当ab<0时,a,b没有等比中项. 设计意图　通过创设情境,引导学生剖析等比数列的概念,体会知识的形成过程,培养抽象概括能力.类比等差中项,给出等比中项的概念,加深对概念的理解. 任务3　等比数列的通项公式  活动3　探究等比数列通项公式及其与指数函数的关系  问题4　设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,请你观察数列的第n项与序号n之间的关系,你能猜测它的通项公式吗? 【提示】 an=a1qn-1. 问题5　你能根据等比数列的定义推导等比数列的通项公式吗? 【提示】 根据等比数列的定义,得an+1=anq,所以a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,…归纳可得,an=a1qn-1(n≥2).当n=1时,上式也成立,故它的通项公式为an=a1qn-1. 问题6　问题5的推导过程是归纳推理,所得结论也是一种猜想,还有其他方法吗? 【提示】 =q,=q,=q,…,=q,把这n-1个等式的左右两边分别依次相乘,得到=qn-1,从而得到an=a1qn-1(n≥2). 当n=1时,上式也成立,故它的通项公式为an=a1qn-1. 问题7　观察等比数列的通项公式,它和哪一类函数有关?有什么联系? 【提示】 由于an=·qn,所以当q>0,且q≠1时,an是指数函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f(n).反之,任给指数函数f(x)=kax(k,a是常数,k≠0,a>0,且a≠1),可构成一个首项是ka,公比为a的等比数列. 设计意图　通过活动3的探究,引导学生从等比数列的定义出发,通过归纳推理得到等比数列的通项公式,但归纳推理得到的结果也是一种猜想,所以需要引导学生通过累乘法给出证明,从而