第四章 4.2.1等差数列的概念（配套教参）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

4.2　等差数列 课时3　等差数列的概念(1)  1. 理解等差数列、等差中项的概念,体会从特殊到一般的认知规律. 2. 掌握等差数列的通项公式的推导过程,培养观察、分析、归纳、推理的能力. 3. 理解并掌握等差数列的公差及通项公式,能用基本量法求解一些简单问题,培养数学应用意识. 课程目标 学科核心素养 理解等差数列、等差中项的概念 通过具体实例归纳等差数列、等差中项的概念,培养数学抽象素养 掌握等差数列的通项公式的推导过程,理解等差数列和一次函数的关系 通过归纳推理完成等差数列通项公式的推导,理解一次函数与数列的关系,培养数学抽象、逻辑推理素养 学会求等差数列的公差及通项公式 在运用基本量法解决简单问题的过程中,培养数学运算、逻辑推理素养 情境1:2000年,在澳大利亚悉尼举行的奥运会上,女子举重被正式列为比赛项目.该项目共设置了7个级别,其中较轻的4个级别体重组成数列(单位:kg):48,53,58,63. 情境2:水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,要定期放水清理水库的杂鱼.如果一个水库的水位为18 m,自然放水每天水位降低1.5 m,最低降至10.5 m可以进行清理工作.那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成数列(单位:m):18,16.5,15,13.5,12,10.5. 情境3:某人贷款买房,需要月均等额还款,他每月还款的钱数(单位:元)分别为:1 500,1 500,1 500,1 500,…. 请观察上述三个数列,它们有什么共同特点呢? 【提示】 对于这三个情境中的数列,从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个常数分别为5,-1.5和0. 设计意图　通过创设熟悉的情境,激发学习兴趣,引导学生首先分析每个数列的特点,再总结这三个数列的共同特点,培养观察、归纳能力,由此引出本节课的课题——等差数列. 任务1　理解等差数列、等差中项的概念  活动1　探究等差数列、等差中项的概念  问题1　你能给情境导学中这种类型的数列下一个定义吗? 【提示】 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列. 问题2　定义中为什么要从第二项起?能不能将同一个常数改为常数?为什么? 【提示】 因为等差数列需要考虑公差,从第一项起的话,没有前一项无法计算公差.不能将同一个常数改为常数,因为改为常数后不一定相等,不符合等差数列的定义了. 问题3　若等差数列{an}的公差用字母d表示,上述定义能否转化为符号语言? 【提示】 能,可转化为an+1-an=d(n∈N*),或写为an-an-1=d(n≥2,n∈N*). 问题4　在由三个数a,A,b组成的等差数列中,A叫做a与b的等差中项,那么它们之间有什么关系? 【提示】 A=. 设计意图　通过情境导学中的三个数列,由特殊到一般,引导学生给等差数列下定义,激发学习新知识的自主性.引导学生剖析等差数列的概念,体会知识的形成过程,感受学习数学的乐趣,培养抽象概括能力.引出等差中项的概念,总结等差中项公式. 注意事项: 1. 教师引导学生认清等差数列的概念,等差数列的公差可正,可负,也可为0,且公差一定是每一项与它前一项的差而非后一项的差. 2. 定义法和等差中项法是判断一个数列是否为等差数列的两个方法. 任务2　理解等差数列的通项公式  活动2　探究等差数列通项公式的推导  问题5　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,请观察数列的第n项与序号n之间的关系,你能猜测它的通项公式吗? 【提示】 an=a1+(n-1)d. 问题6　你能根据等差数列的定义推导它吗? 【提示】 根据等差数列的定义,得an+1-an=d,所以a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,….故a2=a1+d,a3=a2+d=(a1+d)+d=a+2d,…,归纳可得,an=a1+(n-1)d(n≥2).当n=1时,上式也成立,故它的通项公式为an=a1+(n-1)d. 问题7　上述过程是归纳推理,所得结论也是一种猜想,还有其他方法吗? 【提示】 a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d,把这n-1个等式的左右两边分别依次相加,得到an-a1=(n-1)d,从而得到an=a1+(n-1)·d(n≥2).当n=1时,上式也成立,故它的通项公式为an=a1+(n-1)d. 问题8　观察等差数列的通项公式,它和哪一类函数有关?有什么联系? 【提示】 由于an=dn+(a1-d),所以当d≠0时,an是一次函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f(n).反之,任给一次函数f(x)=kx+b(k,b是常数),可构成一个首项是k+b,公差为k的等差