第五章 一元函数的导数及其应用小结与复习（配套教参）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

第五章小结与复习 一、 知识网络·体系构建 二、 主题归纳·综合提升 主题1　导数的概念及其运算与数学运算素养的培养  [教材改编题]求下列函数的导数: (1) y=(3x2-4x)(2x+1); (2) y=x2sinx; (3) y=3xex-2x+e; (4) y=; (5) y=ln(2x-5). (1) 将函数式变形为关于x的三次函数的形式,再运用导数公式与运算法则求导;对(2)~(5)小题,可直接运用导数公式与运算法则求出其导数. (1) 因为y=(3x2-4x)(2x+1)=6x3+3x2-8x2-4x=6x3-5x2-4x,所以y'=18x2-10x-4. (2) y'=(x2)'sinx+x2(sinx)'=2xsinx+x2cosx. (3) y'=(3xex)'-(2x)'+e'=(3x)'ex+3x(ex)'-(2x)'=3xexln3+3xex-2xln2=(ln3+1)(3e)x-2xln2. (4) y'== =.　(5) 令u=2x-5,y=lnu,则y'=(lnu)'u'=·2=,即y'=. 变式训练1 (1) 已知函数y=,则函数y在x=1处的导数y'|x=1=　　　　;  (2) f(x)=x(2 020+lnx),若f'(x0)=2 021,则x0=　　　　;  (3) 若函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f'(1)=　　　　.  (1) 方法1:Δy=-=,所以= .当x0=1时,= ,=,即函数在x=1处的导数为y'|x=1=.　方法2:y'=×=,y'|x=1=|x=1==. (2) f'(x)=2 020+lnx+x·=2 021+lnx,故由f'(x0)=2 021,得x0=1.　(3) 方法1:令t=ex,故x=lnt,所以f(t)=lnt+t,即f(x)=lnx+x,所以f'(x)=+1,所以f'(1)=2.方法2:因为f'(ex)=1+ex,所以f'(1)=1+e0=2. (1) 　(2) 1　(3) 2 点评总结　函数求导时一般对函数式先化简再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错,常用化简技巧有:① 连乘形式:先将函数展开化为多项式连乘的形式,再求导;② 分式形式:观察函数结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;③ 对数形式:先将函数化为和、差的形式,再求导;④ 根式形式:先将函数化为分数指数幂的形式,再求导;⑤ 三角形式:先利用三角函数公式将函数转化为和或差的形式,再求导;⑥ 复合函数:由外向内,层层求导. 设计意图　通过对本主题的探索与研究,复习回顾导数的概念、基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则,掌握求函数的导数的思维方法和基本步骤,为运用导数解决问题奠定基础,发展逻辑推理与数学运算等素养. 主题2　运用导数研究函数的性质及分类讨论思想的运用  已知函数f(x)=-,g(x)=xlnx-x2-x. (1) 求f(x)的极值; (2) 若当x∈(1,+∞)时,f(x)与g(x)的单调性相同,求a的取值范围. (1) 由函数极值的概念可求得结果.　(2) 由(1)知,f(x)在(1,+∞)单调递增,所以g(x)在(1,+∞)单调递增,利用导数将该条件转化为a≤在(1,+∞)恒成立,构造函数p(x)=,x∈(1,+∞),利用导数求出p(x)的值域即可得解. (1) f(x)的定义域为R,f'(x)=,当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.所以f(x)有极小值f(1)=,无极大值.　(2) 由(1)知,f(x)在(1,+∞)上单调递增,则g(x)在(1,+∞)上单调递增,即g'(x)=1+lnx-ax-1=lnx-ax≥0在(1,+∞)上恒成立,即a≤在(1,+∞)上恒成立.令p(x)=,x∈(1,+∞),p'(x)=,所以当x∈(1,e)时,p'(x)>0;当x∈(e,+∞)时,p'(x)<0,所以p(x)在(1,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以p(x)max=p(e)=.又因为当x∈(1,+∞)时,p(x)>0,所以p(x)∈,所以a≤0,即a的取值范围是(-∞,0]. 变式训练2 已知函数f(x)=lnx-(m∈R). (1) 当m=-2时,求函数f(x)的单调区间和极值; (2) 若函数f(x)在区间[1,e]上取得最小值4,求m的值. (1) 当m=-2时,f(x)=lnx+(x>0),则f'(x)=.当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)的单调递增区间为(2,+∞),单调递减区间为(0