第五章 5.3.1函数的单调性（配套教参）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

5.3　导数在研究函数中的应用 课时8　函数的单调性(1)  1. 根据函数单调性和导数的定义,从实例入手探索函数的单调性与导数之间的关系. 2. 借助函数的图象和导数的几何意义,认识和理解函数的单调性和导数之间的关系. 3. 掌握运用导数判断、证明函数单调性和求函数的单调区间的基本方法和一般步骤. 课程目标 学科核心素养 能根据函数单调性的定义,探索和发现函数的单调性与导数之间的关系 通过探究函数的单调性与函数的导数之间的关系,培养数学抽象、直观想象等素养 结合函数的图象与导数的几何意义,理解函数的单调性与导数之间的关系 通过观察函数的图象,理解函数的单调性与导数之间的关系,培养数学抽象、逻辑推理等素养 掌握运用导数判断函数的单调性和求函数的单调区间的基本方法和一般步骤 通过运用导数判断函数的单调性和求函数的单调区间,培养逻辑推理、数学运算等素养 图1是跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象,图2是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象,a=,b是函数h(t)的零点.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?如何从数学角度刻画这种区别? 图1 图2 设计意图　借助高台跳水实例创设问题情境,引导学生借助几何直观探索并了解函数的单调性与函数导数正负之间的关系,提出运用导数研究函数的单调性的话题,激发探究学习的热情,为开展新课的学习活动营造出一个良好的氛围. 任务　探究函数单调性与函数导数的关系  活动1　 探究导数与原函数图象的关系  问题1　情境导学中,能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢? 【提示】 能.在区间(0,a)上,h'(t)>0,h(t)单调递增;在区间(a,b)上,h'(t)<0,h(t)单调递减. 问题2　根据下面各函数的图象及解析式,请你计算导数的正负,并观察函数单调性. 图3 图4 图5 图6 【提示】 图3在R上,f(x)单调递增,f'(x)>0. 图4在(-∞,0)上, f(x)单调递减,f'(x)<0;在(0,+∞)上, f(x)单调递增,f'(x)>0. 图5在(-∞,0)上, f(x)单调递增,f'(x)>0;在(0,+∞)上, f(x)单调递增,f'(x)>0. 图6在(-∞,0)上, f(x)单调递减,f'(x)<0;在(0,+∞)上, f(x)单调递减,f'(x)<0. 问题3　你能归纳函数f(x)的单调性与导数f'(x)的正负之间的关系吗? 【提示】 在某个区间(a,b)上,如果f'(x)>0,则f(x)在区间(a,b)上单调递增; 在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,则f(x)在区间(a,b)上单调递减. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生借助函数图象的直观,由特殊到一般,归纳猜想出函数的单调性与其导数的正、负之间的关系,对函数的单调性与导数之间的联系形成正确的认识和理解,发展直观想象和数学抽象等素养. 注意事项: 切忌用自己对单调性与导数关系的认识简化教学过程. 活动2　探究导数的正负与函数图象间的关系的产生原因  问题4　为什么函数的单调性和导数的正负之间有这样的关系? 【提示】 导数f'(x0)表示函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处切线的斜率,可以发现: 图7 图8 如图7,在x=x0处,f'(x0)>0,切线是“左下右上”的上升式,函数f(x)的图象也是上升的,函数在x=x0附近单调递增.如图8,在x=x1处,f'(x1)<0,切线是“左上右下”的下降式,函数f(x)的图象也是下降的,函数在x=x1附近单调递减. 问题5　能否说明函数y=f(x)的平均变化率的几何意义与f'(x)的正负是什么关系? 图9 图10 【提示】 任取两点P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2)),则平均变化率为,表示过P1P2两点割线的斜率,如果f(x)在一个区间内任意两点连成割线的斜率>0,则对于区间(a,b)上任意的x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么从函数单调性的定义说明函数在该区间上单调递增;从图9上直观发现,在该区间上,对于每条割线,总有一条切线和它平行,因此,如果f(x)在某区间上导数恒大于0,则在此区间上任意两点连成割线的斜率一定大于0,从而说明原函数在这个区间上单调递增.同理可论证在某区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在此区间上单调递减(图10). 问题6　在某个区间内,f'(x)>0(f'(x)<0)是函数f(x)在此区间内单调递增(单调递减)的什么条件? 【提示】 充分不必要条件.例如:f(x)=x3在R上递增,但是f'(x)=