第五章 5.2.2.1基本初等函数的导数（配套教参）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

5.2　导数的运算 课时5　基本初等函数的导数  1. 学会根据导数的定义求形如y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=等常见函数的导数. 2. 通过求一些常见函数的导数,进一步理解导数的概念,掌握运用定义求导数的方法. 3. 掌握常见函数的导数公式,能灵活地运用常见函数的导数公式求一些简单函数的导数. 课程目标 学科核心素养 能根据导数的定义求一些常见函数的导数,进而推导出一些常见函数的导数公式 在运用导数定义求常见函数导数的过程中,培养数学抽象素养 通过推导和证明基本初等函数的导数公式,进一步理解运用定义求导数的方法 在推导与证明基本初等函数导数公式的过程中,培养逻辑推理素养 能灵活运用基本初等函数的导数公式求某些简单函数的导数 在运用公式求简单函数导数的过程中,培养数学运算素养 “简单”与“复杂”是人们在剖析客观事物时所归纳出的两个极端属性,也是描述客观事物被人了解及掌握难易程度的感观印象.因此“简单”与“复杂”既有客观的一面,也有主观的一面,因人而异,因事而异.只要人类文明进程不被中止,“简单”与“复杂”将会是一个永恒的话题,争论也将永无休止.“复杂”是由“简单”构成,回到数学中,很多复杂的函数都是由基本初等函数通过加、减、乘、除等运算得到的,因此我们自然想到要计算复杂函数的导数,可以先求出基本初等函数的导数,那么,如何求一些常见函数的导数呢?本节我们就来研究这些问题. 设计意图　通过上述问题情境的创设,引导学生进行理性地思考,学会将“复杂”问题分解为“简单”的问题去加以解决,感悟我们为什么要先研究常见函数和基本初等函数的导数,为新课的探究学习作好铺垫、奠定基础. 任务1　推导几个常用函数的导数  活动1　用导数定义求几个常用函数导数  问题1　什么是函数的导数? 【提示】 若函数y=f(x)的自变量x在x0处有增量Δx,则函数y相应地有增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),比值叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率,即=.如果当Δx→0时,有极限,我们就说函数y=f(x)在点x0处可导,并把这个极限叫做f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y',即f'(x0)==.当x变化时,f'(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即f'(x)=y'=. 问题2　给出一个函数,怎样求出它的导数呢?你能举例说明吗? 【提示】 可以根据定义,先求出它的平均变化率,再计算其极限值.例如:f(x)=2x+3,可按下面的步骤求出其导数:====2,当Δx→0时,=2,所以f'(x)=2. 问题3　一些简单的函数,运用定义就能求出其导数,对一些复杂的函数,运用定义就比较困难了,怎么解决这一问题呢? 【提示】 先求出一些基本初等函数的导数,然后研究出导数的“运算法则”,这样便可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数. 问题4　你能求出下面几个常见函数的导数吗? (1) f(x)=c;　(2) f(x)=x; 　(3) f(x)=x2; (4) f(x)=x3;　(5) f(x)=;　(6) f(x)=. 【提示】 (1) Δy=f-f(x)=c-c=0,所以=0,所以f'(x)=c'==0.若f(x)=c表示位移关于时间的函数,则f'(x)=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态. (2) Δy=f-f(x)=-x=Δx,所以=1, 所以f'(x)=(x)'==1.若f(x)=x表示位移关于时间的函数,则f'(x)=1可以解释为某物体的瞬时速度始终为1的匀速直线运动. (3) Δy=f-f(x)=-x2=2x·Δx+Δx2.所以=2x+Δx.所以f'(x)='===2x.f'(x)=2x表示函数f(x)=x2的图象上点处切线的斜率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y'=2x表明:当x<0时,随着x的增加,越来越小,y=x2减少得越来越慢;当x>0时,随着x的增加,越来越大,y=x2增加得越来越快.若f(x)=x2表示路程关于时间的函数,则f'(x)=2x可解释为某物体做变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x. (4) Δy=f-f(x)=-x3=3x2·Δx+3x·(Δx)2+(Δx)3.所以=3x2+3x·Δx+(Δx)2.所以f'(x)='==(3x2+3x·Δx+(Δx)2)=3x2.f'(x)=3x2表示函数f(x)=x3的图象上点处切线的斜率为3x2,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化,且恒为非负数. (5) Δy=f-f(x)=-=,所以=.所以f'(x)='===-. (6) Δy=f-f(x)=-=,所以=.所以y'='=