第五章 5.1.2导数的概念及其几何意义（配套教参）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时3　导数的概念及其几何意义(1)  1. 通过具体实例,类比平均速度和瞬时速度认识和理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念. 2. 能够从数值逼近、函数图象直观感知和解析式抽象三个角度来正确地认识和理解导数的定义. 3. 学会运用导数的定义求简单函数在某点处的导数,掌握运用导数的定义求导数的方法和步骤. 课程目标 学科核心素养 通过丰富的实际背景和具体实例引入导数的概念 在初步认识导数的概念的过程中,培养数学抽象、直观想象素养 经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数是如何刻画瞬时变化率的,感悟极限思想 在经历刻画瞬时变化率的过程中,培养数学运算、逻辑推理素养 理解导数的概念,能运用导数的定义求一些简单函数的导数 在运用导数的定义求简单函数的导数的过程中,培养数学运算素养 微积分的主要起源是三个很古老的问题:光学中反射面为一般曲线的入射光是怎样反射的?如何确定曲线运动的速度方向?如何求两条相交的曲线所构成的夹角?而要解决这三个不同的问题,归根结底都要解决同一个问题:曲线的切线问题. 设计意图　借助数学文化和数学史料创设问题情境,让学生了解促使数学家研究切线的三大问题——光在曲面上的反射问题、曲线运动的速度方向问题以及曲线夹角问题,激发学生对探究曲线的切线问题的欲望,为开展新课的学习活动营造出一个良好的氛围. 任务　探究导数的概念  活动1　函数的平均变化率  问题1　对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y的变化量为多少? 【提示】 y从f(x0)变化到f(x0+Δx),即y的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0). 问题2　函数的平均变化率如何表示? 【提示】 我们把比值=,叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,类比前面所学的平均速度的概念,认识和理解函数的平均变化率的定义,帮助学生学会用数学语言来刻画函数的平均变化率,训练理性思维,发展直观想象和数学抽象等素养. 活动2　函数的导数概念  问题3　对于函数y=f(x),当Δx→0时,平均变化率会如何? 【提示】 当Δx→0时,若无限接近一个确定的值,即有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导. 问题4　对于函数y=f(x),当Δx→0时,如果不存极限呢? 【提示】 就说函数y=f(x)在x=x0处不可导,或者说无导数. 问题5　Δx是自变量x在x0处的改变量,所以Δx≠0,Δy可以为零吗? 【提示】 因为Δy是函数值的改变量,所以可以为零的. 问题6　如何定义函数y=f(x)的导数呢? 【提示】 当Δx→0时,若平均变化率无限接近一个确定的值,即有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称瞬时变化率).记作:f'(x0)或y',即f'==. 问题7　某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在的函数关系:h(t)=-4.9t2+4.8t+11,则该运动员在t=1时的瞬时速度v(1)是多少? 【提示】 就是函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11在t=1处的导数h'(1). 问题8　抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率k0是多少? 【提示】 就是函数f(x)=x2在x=1处的导数f'(1). 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生在理解函数的平均变化率的基础上,循序渐进地引导归纳、总结得出在x=x0处的导数的概念,发展直观想象和数学抽象等素养. 注意事项: 在活动2中介绍了函数的导数概念后,要乘热打铁结合前面所学的瞬时速度、抛物线切线的斜率等概念,让学生深刻体会并领悟函数的导数的概念及其蕴含的数学本质. 知识梳理 　　对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx),x的变化量为Δx,y的变化量为f(x0+Δx)-f(x0), 我们把比值,即,叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率.当Δx→0时,平均变化率无限接近一个确定的值,即有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称瞬时变化率),记作:f'(x0)或y',即f'(x0)== 知识点函数的平均变化率与瞬时变化率的概念 重难点根据定义求函数在x=x0处的平均变化率与瞬时变化率 已知函数f(x)=-x2+x. (1) 求该函数在x=-1附近的平均变化率; (2) 求该函数在x=-1处的瞬时变化率. 根据函数f(x)在x=x0附近平均变化率与瞬时变化率的定义,f(x)在x=-1的平均变化率,为两增量之比,需先求Δy,再求即得平均变化率,最后由瞬时变化率定