第七章 7.3.2复数的乘、除运算的三角表示及其几何意义-（配套练习）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时6　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义  A组　基础巩固 1. 等于 (　　) A. -i B. i C. +i D. --i 【解析】 原式=cos+isin=cos+isin=--i.故选D. 【答案】 D 2. 4(cos60°+isin60°)×3(cos150°+isin150°)等于 (　　) A. 6+6i B. 6-6i C. -6+6i D. -6-6i 【解析】 4(cos60°+isin60°)×3(cos150°+isin150°)=12[cos(60°+150°)+isin(60°+150°)]=12(cos210°+isin210°)=12=-6-6i.故选D. 【答案】 D 3. 在复平面内,把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量对应的复数是 (　　) A. +i B. +i C. +i D. +i 【解析】 1+i==,按顺时针方向旋转后,所得的向量模不变,辐角为-.cos=coscos+sinsin=,sin=sincos-cossin=,∴该复数为=+i.故选B. 【答案】 B 4. [教材改编题]可化简为 (　　) A. cos0+isin0 B. cos3θ+isin3θ C. cos10θ+isin10θ D. cos3θ-isin3θ 【解析】 = =cos10θ+isin10θ.故选C. 【答案】 C 5. (多选)z1=(cos20°+isin20°),z2=(cos50°+isin50°),z3=(cos80°+isin80°),则等于 (　　) A. cos50°+isin50° B. cos410°+isin410° C. sin40°+icos40° D. cos40°-isin(-40°) 【解析】 z1z3=×[cos(20°+80°)+isin(20°+80°)]=(cos100°+isin100°),= =cos50°+isin50°.∵cos50°=cos410°=sin40°,sin50°=sin410°=cos40°.故选ABC. 【答案】 ABC 6. i的五次方根的三角形式为　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　(辐角取辐角的主值).  【解析】 i=cos+isin,∴==cos+isin,k∈Z.∴在∈[0,2π)时,k=0,1,2,3,4,相应的取值为cos+isin,cos+isin,cos+isin,cos+isin,cos+isin. 【答案】 cos+isin　cos+isin　cos+isin　cos+isin　cos+isin 7. 已知z1=(1-i),z2=sin-icos,则z1z2=　　　　,=　　　　.  【解析】 z1==cos+isin,z2=sin-icos=cos+isin,z1·z2= ·cos= cos+isin=-i,==cos+isin=-i. 【答案】 -i　-i 8. 已知在复平面内复数z1=-2+i对应的点为P1,z2=-3+4i对应的点为P2,把向量绕点P1按顺时针方向旋转后得到向量,则向量和点P对应的复数分别是什么? 【解析】 由题意可知,向量对应的复数是z2-z1=-1+3i.再由复数乘法的几何意义,得向量对应的复数是(-1+3i)=3+i. 最后由复数加法的几何意义,得向量 =+,其对应的复数是(-2+i)+(3+i)=1+2i,故点P对应的复数为1+2i. B组　综合运用 9. [2022·吉林省吉林市高三模拟改编题]设z=r(cosθ+isinθ),则的三角形式为 (　　) A. (cosθ+isinθ) B. [sin(-θ)+icos(-θ)] C. (cosθ-isinθ) D. [cos(-θ)+isin(-θ)] 【解析】 ==[cos(-θ)+isin(-θ)].故选D. 【答案】 D 10. [2022·河北省唐山市高一期中改编题]将复数1+i在复平面内所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转角θ,所得向量对应的复数是-2i,则角θ的最小正值是 (　　) A. B. C. D. 【解析】 1+i=2=2,-2i=2,-=.故选C. 【答案】 C 11. 若ω3=1,ω是虚数,则ω2n+ωn+1=　　　　(n∈N*).  【解析】 当n=3k(k∈Z)时,ω2n+ωn+1=ω3·2k+ω3·k+1=3,当n=3k+1(k∈Z)时,ω2n+ωn+1=ω3·2k·ω2+ω3·k·ω+1=ω2+ω+1,∵ω2+ω+1=ω2+ω+ω3=ω(ω2+ω+1),且ω≠1,故ω2+ω+1=0,故ω2n+ωn+1=0.当n=3k+2(k∈Z)时,ω2n+ωn+1=ω3·(2k+1)·ω+ω3·k·ω2+1=ω+ω2+