第七章 7.3.1复数的三角表示式-（配套练习）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

7.3*　复数的三角表示 课时5　复数的三角表示式  A组　基础巩固 1. [教材改编题]复数的辐角的主值为 (　　) A. B. C. D. 【解析】 sin=cos=cos,cos=sin=sin,∴=,所以其辐角的主值为.故选B. 【答案】 B 2. [教材改编题]复数-6的代数形式为 (　　) A. 6 B. -6 C. 6i D. -6i 【解析】 ∵cos=0,sin=1,∴-6=-6i.故选D. 【答案】 D 3. [2020·北京卷改编题]在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,1),则复数z的三角形式可以为 (　　) A. 1+i B. C. D. +i 【解析】 由题意,得复数z=1+i,r==,cosθ==,sinθ==,所以复数的辐角为+2kπ(k∈Z),所以C正确.故选C. 【答案】 C 4. 复数cos+isin在复平面内对应的点为A,复数i对应的点为B,O为坐标原点,则△AOB是(　　) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 正三角形 【解析】 由复数的三角形式可得∠AOB=-=,cos=,sin=,||=r==1,||=1,所以△AOB为边长是1的等边三角形.故选D. 【答案】 D 5. (多选)复数1-i的三角形式可以为 (　　) A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 【解析】 设复数的三角形式为r(cosθ+isinθ),则r==2,cosθ=,sinθ=-,那么复数辐角的主值为,所以三角形式为2(k∈Z),故AB正确,C不正确,D选项不是复数的三角形式.故选AB. 【答案】 AB 6. 复数z=4在复平面内对应的点在第　　　　象限.  【解析】 由复数的三角形式可知,复数z辐角的主值为,且r=4≠0,∴z对应的点在第一象限. 【答案】 一 7. 复数--3i的辐角的主值为　　　　,三角形式(辐角取辐角的主值)为　　　　　　　　.  【解析】 r==2,∴--3i=2,∴cosθ=-,sinθ=-,所以该复数辐角的主值为,三角形式(辐角取辐角的主值)为2. 【答案】 　2 8. 已知复数z1=2,z2=2,求. 【解析】 设在复平面内复数z1对应的点为Z1,复数z2对应的点为Z2,O为坐标原点.∵=2,|z2|=2,且∠Z1OZ2=-=,∴△Z1OZ2是等腰直角三角形,∴|z1-z2|=||=2.也可直接用三角形式计算. B组　综合运用 9. 复数-1+i的三角形式(辐角取辐角的主值)为(　　) A. -2 B. 2 C. 2 D. 2 【解析】 复数-1+i的模r==2,∴cosθ=-,sinθ=,∴辐角的主值为,即z=2.故选C. 【答案】 C 10. (多选)下列命题中正确的有 (　　) A. 复数0的辐角为0 B. 如果一个复数不为0,则其辐角有无限多个值 C. 任何一个非零复数都有唯一的辐角的主值 D. 任何一个复数都有唯一的模 【解析】 复数0的辐角是任意的,所以A错误;终边相同的角有无限多个,所以B正确;当角的范围为[0,2π)时的辐角θ的值为辐角的主值,它是唯一的,所以C正确;任何一个复数的模是唯一的,所以D正确.故选BCD. 【答案】 BCD 11. 把复数3-i在复平面内对应的向量按顺时针方向旋转所得向量对应的复数是　　　　,其三角形式为　　　　　　.  【解析】 复数3-i的模为=2,cosθ=,sinθ=-,则其辐角的主值为,顺时针旋转后,模不变,辐角变为-=,∴对应复数为-2i,其三角形式为2. 【答案】 -2i　2 12. 设z=+i在复平面内对应的向量为,将绕点O按顺时针方向旋转45°和按逆时针方向旋转60°,求所得向量对应的复数.(用代数形式表示) 【解析】 复数z=+i的模为=2,∴cosθ=,sinθ=,∴其辐角的主值为30°.按顺时针方向旋转45° 后,新的复数的模为2,辐角的主值为360°-15°=345°,∴复数为2[cos(345°)+isin(345°)].cos(345°)=cos(360°-15°)=cos(-15°)=cos(30°-45°)=cos30°cos45°+sin30°sin45°=,sin345°=sin(360°-15°)=sin(-15°)=sin(30°-45°)=sin30°cos45°-cos30°sin45°=,∴其对应的复数为2=+i.按逆时针方向旋转60°后复数的模为2,辐角的主值为90°,所以新复数为2i. 备选题1. 已知复数z满足|z|≤1,则|z-2i|的模的取值范围为　　　　,arg(z-2i)的取值范围为　　　　.  【解析】 设复平面内复数z对应的点为Z,则由|z|≤1,可得点Z轨迹是以点O(0,0)为圆心,1为半径的圆及其内部.记复数2i对应