7.3.1 复数的三角表示式（导学案）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章 复数 7.3 复数的三角表示 7.3.1 复数的三角表示式 【学习目标】 1. 精准理解复数辐角、辐角主值的定义，牢记复数三角形式的标准特征，熟练掌握代数形式与三角形式的互化方法. 1. 经历“观察 — 猜想 — 推导 — 归纳”过程，提升直观想象、逻辑推理、数学运算能力. 1. 感受复数代数形式与三角形式的内在统一，体会数学简洁美，培养严谨的解题规范与探究精神. 【学习重点】 1. 复数的三角表示式：，其中 ， 是辐角. 2. 辐角主值的范围：（或 ，依教材定义）. 3. 代数形式与三角形式的互化. 【学习难点】 1. 正确求复数的辐角主值，尤其是在不同象限的辐角计算. 2. 三角形式的标准书写（， 形式）. 学习任务一 复数的三角表示式的推导 【合作探究】 1. 问题引入： · 复数 在复平面内对应点 ，也对应向量 . · 向量的长度（模），方向可由从正实轴逆时针旋转到向量方向的角 确定. · 显然，，，于是 · 这就是复数的三角表示式（简称三角形式）. 1. 定义： · 设复数 ，其模 ，以正实轴为始边、向量 所在射线为终边的角 称为 的辐角，记作 . · 满足 的辐角称为辐角主值，记作 . · 零复数没有辐角. 1. 例题： · 写出 的三角形式. · 解：，，（对应点在第一象限）. · 所以 . 1. 思考： (1) 辐角是否可以取多个值？ · （是，所有与 相差 （）的角都是辐角.） (2) 辐角主值的范围有什么作用？ · （唯一确定一个角，方便计算和比较.） 【自主梳理】 1. 三角形式：，， 为辐角. 1. 辐角主值：通常取 （或 ），每个非零复数有唯一辐角主值. 1. 特殊点： (1) 实轴上正方向：；实轴负方向：. (2) 虚轴正方向：；虚轴负方向：. 学习任务二 代数形式与三角形式的互化 【合作探究】 1. 代数形式 → 三角形式： · 步骤：① 求模 ；② 确定辐角主值 ： · 根据点所在象限决定的具体值 · ③ 写出 . 1. 三角形式 → 代数形式： · 直接计算 ，，得 . 1. 例题： · (1) 将 化为三角形式. · 解：，点 在第三象限，，. · 所以 . · (2) 将 化为代数形式. · 解：，， · 所以 . 1. 注意： (1) 三角形式中 ，括号内必须是 形式，不能写成 等. (2) 辐角常取主值，也可取一般值. 【自主梳理】 常用特殊角的三角函数值： 学习任务三 辐角主值的确定与复数三角形式的应用 【合作探究】 1. 辐角主值的求法： · 设 ，. (1) 若 ，； (2) 若 ，，； (3) 若 ，，（结果在 到 之间）； (4) 若 ，，；，. 1. 例题： · 求复数 的辐角主值. · 解：，点 在第二象限，，. · 所以 . 1. 思考： (1) 两个复数相等的三角形式有何条件？ · （模相等，辐角相差 .） (2) 辐角主值在哪些运算中常用？ · （乘除、乘方、开方等后续学习.） 【自主梳理】 求辐角主值步骤： 1. 计算模. 1. 根据点所在象限，利用反三角函数表示辐角主值（常用 加象限修正）. 1. 写出 （范围 ）. 【自查自纠】（正误判断） 1. 复数 的辐角是 . （ ） 1. 复数 的模为 . （ ） 1. 三角形式 中 必须为正实数. （ ） 1. . （ ） 1. 复数 的辐角主值是 . （ ） 答案：1.×（零复数无辐角） 2.√ 3.√（，通常） 4.√ 5.√ 【典例分析】 例1：将下列复数化为三角形式： (1) ； (2) . 解： (1) ，点 在第四象限，，（或 但不取负），故 . (2) ，点 在负实轴上，，故 . 例2：将 化为代数形式. 解：，， 所以 . 例3：已知 ，求 （精确到角度）. 解：点 在第一象限，，，即 （或 rad）. 【习题巩固】 1. 复数 的三角形式是（ ） · A. · B. · C. · D. 1. 复数 的代数形式是（ ） · A.  B. · C.  D. 1. 复数 的辐角主值为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 若复数 为纯虚数，则 可能为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. （选做）已知 ，，求 的三角形式（不要求计算具体数值）. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. B（，点 在第四象限，辐角为 ） 1. A（，虚部同理得 ） 1. A（，点 在第二象限，，） 1. B、D（纯虚数实部为0，即 ， 或 ） 1. . 学科网（北京）股份有限公司 $