第六章 6.4.3.1余弦定理-（配套练习）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时13　余弦定理  A组　基础巩固 1. [2020·全国Ⅲ卷]在△ABC中,若cosC=,AC=4,BC=3,则cosB等于 (　　) A. B. C. D. 【解析】 ∵AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC=42+32-2×4×3×=9,解得AB=3,则cosB===.故选A. 【答案】 A 2. △ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sinA),则A等于 (　　) A. B. C. D. 【解析】 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=2b2-2b2cosA,∴2b2(1-sinA)=2b2(1-cosA),∴sinA=cosA,即tanA=1,又0<A<π,∴A=.故选C. 【答案】 C 3. 在△ABC中,已知a=2,则bcosC+ccosB等于 (　　) A. 2 B. C. 1 D. 4 【解析】 由余弦定理,bcosC+ccosB=b·+c·==a=2.故选A. 【答案】 A 4. △ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c.在△ABC中,若(a2+c2-b2)tanB=ac,则内角B的大小为 (　　) A. 90° B. 45° C. 60°或120° D. 30°或150° 【解析】 由余弦定理,cosB=,结合(a2+c2-b2)·tanB=ac,可得2cosBtanB=,sinB=cosBtanB=.即B=60°或120°.故选C. 【答案】 C 5. (多选)[教材改编题]已知△ABC满足AB=1,BC=,sinB=,则AC等于 (　　) A. 5 B. C. 2 D. 1 【解析】 ∵sinB=,∴B=45°或B=135°.当B=45°时,AC==1;当B=135°时,AC==.故选BD. 【答案】 BD 6. 在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB等于　　　　.  【解析】 ∵cos=,∴cosC=2cos2-1=2×-1=-.在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC=52+12-2×5×1×=32,∴AB==4. 【答案】 4 7. [2022·河南省许昌市高一期末]在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=2,则AC=　　　　.  【解析】 在△ABM中,由余弦定理知AM2=AB2+BM2-2AB·BM·cos60°,∴12=4+BM2-2BM,得BM=4或BM=-2(舍去),∵M是BC的中点,∴BC=8,在△ABC中,由余弦定理可知AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos60°=4+64-2×2×8×=52,即AC=2. 【答案】 2 8. [2022·重庆市第七中学高一期末]△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b)2=c2+3ab. (1) 求角C的大小; (2) 若a=3,c=7,D为AB边上的中点,求CD的长. 【解析】 (1) cosC== = =,∵C∈(0,π),∴C=.　(2) ∵(a+b)2=c2+3ab,a=3,c=7,∴有(3+b)2=49+9b,得b=8或b=-5(舍去),CD=||=|+|==. B组　综合运用 9. △ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若C=,c=a,则 (　　) A. a>b B. a<b C. a=b D. a和b的大小关系不能确定 【解析】 由c2=a2+b2-2abcosC,代入C=,c=a,可得=a2+b2+ab,∴a2-b2=2b2+3ab>0,即得a>b.故选A. 【答案】 A 10. (多选)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A+C=2B,a+c=8,ac=15,则cosA等于 (　　) A. B. - C. D. - 【解析】 ∵A+C=2B,A+B+C=π,∴B=.∵a+c=8,ac=15,可得或∴b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB=82-2×15-2×15×=19,b=.当a=3,c=5时,cosA===;当a=5,c=3时,cosA===.故选AC. 【答案】 AC 11. 锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,b=1,c=2,则a的取值范围是　　　　.  【解析】 方法1:由三角形的性质得c-b<a<c+b,∴1<a<3.∵△ABC为锐角三角形,且a>b,c>b,∴只需A,C为锐角.由cosA=>0,得5-a2>0,∴0<a<.由cosC=>0,得a2-3>0,∴a>.综上,<a<.方法2:几何法,通过画图找到A运动的临界情况,如图,<a<. 第11题答图 【答案】 <a< 12. △ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足=. (1) 求角A;