第六章 6.4.1平面几何中的向量方法-（配套练习）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

6.4　平面向量的应用 课时11　平面几何中的向量方法  A组　基础巩固 1. 在△ABC中,若|+|=|-|,则△ABC的形状是 (　　) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【解析】 由|+|=|-|得|+|2=|-|2,即·=0,∴⊥,∴∠A=90°,即△ABC为直角三角形.故选B. 【答案】 B 2. 在△ABC中,已知AD为BC边上的中线,E为AD的中点,AB=2,AC=3,∠BAC=,则EB等于 (　　) A. B. C. D. 【解析】 作出示意图如图,则=+=+=×(+)+ 　第2题答图 (-)=-.∴EB=||= ===.故选C. 【答案】 C 　第3题 3. [2021·江苏省梅村高级中学高一月考]如图,设P为△ABC内一点,且2+2+=0,则S△ABP∶S△ABC的值为 (　　) A. B. C. D. 【解析】 设AB的中点是D.∵+=2=-,∴=-,∴P为CD的五等分点,∴△ABP的面积为△ABC的面积的.故选A. 【答案】 A 4. 已知在△OCB中,A是CB的中点,点D在线段OB上,且OD∶DB=2∶1,DC和OA交于点E,若OE=λOA(0<λ<1),则实数λ的值为 (　　) A. B. C. D. 【解析】 用向量方法,设=a,=b.由题意知,A是BC的中点,且=,由平行四边形法则,得+=2,∴=2-=2a-b,由题意知,∥,故设=x.∵=-=(2a-b)-λa=(2-λ)a-b,=-=2a-b.∴(2-λ)a-b=x.∵a与b不共线,由平面向量基本定理,得解得故λ=.故选D.(也可以利用相似三角形求解) 【答案】 D 5. 如图,在Rt△ABC中,∠ABC=,AC=2AB=2,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,则AD等于 (　　) 　第5题 A. B. C. D. 【解析】 设圆的半径为r,在Rt△ABC中,∠ABC=,AC=2AB,∴∠BAC=,∠ACB=,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,∴∠ACB=∠BAD=∠CAD=,则根据圆的性质得BD=CD=AB,又∵在Rt△ABC中,AB=AC=r=OD,∴四边形ABDO为菱形,设=a,=b,∴=+=a+b.AC=2AB=2,得|a|=AB=1,|b|=AC=2,∠BAC是向量a和向量b的夹角.于是,有AD=||====.故选A. 【答案】 A 6. 数学家证明:向量的加法满足平行四边形法则. 如图,设一个质点从线段AB的端点A出发,沿AB自左至右做匀速运动,同时,AB又沿着AD方向自下而上做匀速运动(保持与自身平行),运动过程中,端点A始终位于AD上;当质点到达AB的端点B时,AB抵达DC的位置.显然,质点的速度是两种速度的合速度.那么在整个运动过程中,质点的轨迹是　　　　　　　　　　　　　　　　.  第6题 【解析】 设在某个时刻,AB运动到FG处时,质点运动到点E,则有=,即==,这就表明,点E位于对角线AC上,因此质点E的运动轨迹就是对角线AC. 【答案】 对角线AC 　第7题 7. 如图,已知AC=2,B为AC的中点,分别以AB,AC为直径在AC同侧作半圆,M,N分别为两半圆上的动点(不含端点A,B,C),且BM⊥BN,则MN的取值范围是　　　　.  【解析】 MN=||===,∵0<||<1,∴1<MN<.故MN的取值范围是(1,). 【答案】 (1,) 8. 如图,点O是平行四边形ABCD的中心,E,F分别在边CD,AB上,且==.求证:E,O,F三点共线. 第8题 【证明】 设=m,=n,由==知E,F分别是CD,AB的三等分点,∴=+=+=-+(+)=m+n,=+=+=(+)-=m+n.即=,又O为与的公共点,故E,O,F三点共线. B组　综合运用 9. [教材改编题]如图,在平行四边形ABCD中,AD=AB,E为边AB的中点,F是边BC上靠近点B的三等分点.若存在某个角B使得DE⊥AF,则此时cosB的值为 (　　) 第9题 A. - B. - C. - D. - 【解析】 由题意得=,=.由DE⊥AF,得·=0,∴(+)·(+)=0,∴·-+=0,cos∠BAD=,∴cosB=-.故选C. 【答案】 C 　第10题 10. 如图,在梯形ABCD中,BC=2AD,DE=EC,设AB=BC=5,cos∠ABC=,则BE等于 (　　) A. B. C. D. 【解析】 取BC的中点F,由题意知AF∥CD,且AF=CD,设=a,=b,则=+=+=+(-)=+=a+b.∴BE=== =.故选D. 【答案】 D 　第11题 11. 如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,