第六章 6.3.5平面向量数量积的坐标表示-（配套练习）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时10　平面向量数量积的坐标表示  A组　基础巩固 1. [2022·广东省佛山市高一期中改编题]已知向量=(-1,2),=(3,m).若⊥,则m的值为 (　　) A. B. 4 C. - D. -4 【解析】 依题意得=(4,m-2),∵⊥,∴(-1,2)·(4,m-2)=-4+2m-4=0,解得m=4.故选B. 【答案】 B 2. 在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·等于 (　　) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【解析】 ∵四边形ABCD为平行四边形,∴=+=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),∴·=2×3+1×(-1)=5.故选A. 【答案】 A 3. a,b为平面向量,已知a=(2,4),a-2b=(0,8),则a,b夹角的余弦值等于 (　　) A. - B. - C. D. 【解析】 已知a=(2,4),a-2b=(0,8),∴b=[a-(a-2b)]=(1,-2),∴a·b=2-8=-6.设a,b夹角为θ,∴a·b=|a|·|b|·cosθ=2··cosθ=10cosθ,∴10cosθ=-6,∴cosθ=-.故选B. 【答案】 B 4. 已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则该三角形为 (　　) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【解析】 由题意得=(2,-2),=(-4,-8),=(-6,-6),∴||==2,||==4,||==6,∴||2+||2=||2,故△ABC为直角三角形.故选B. 【答案】 B 5. (多选)已知=1,b=,则下列结论中正确的有 (　　) A. 若a∥b,则=6 B. 若a⊥b,则= C. 若a∥b,则 = D. 的最小值为4 【解析】 ∵b=,则==5.对于选项A,若a∥b,则=,∴|a+b|=6或=4,选项A错误;对于选项B,若a⊥b,则a·b=0,∴==a2+2a·b+b2=a2+b2,==a2-2a·b+b2=a2+b2,则=,∴|a+b|=,选项B正确;对于选项C,若a∥b,且=1,则a=±,∴a=或a=,选项C错误;对于选项D,由向量模的三角不等式可得≥=4,选项D正确.故选BD. 【答案】 BD 6. 已知|a|=1,|b|=2,a+b=(1,),则向量a,b的夹角为　　　　.  【解析】 ∵a+b=(1,),∴|a+b|=,两边平方得a2+2a·b+b2=3,将|a|=1,|b|=2代入,得1+2a·b+4=3,从而a·b=-1,设向量a与b的夹角为θ,则cosθ==-,而θ∈[0,π],∴θ=,即向量a,b的夹角为. 【答案】 7. [2022·湖北省六校新高考联盟高二联考改编题]已知向量a=(3,-2),b=(m,6),若a∥b,则m=　　　　;若a⊥b,则m=　　　　.  【解析】 ∵a∥b,∴3×6-(-2)×m=0,∴m=-9.∵a⊥b,∴3m+(-2)×6=0,∴m=4. 【答案】 -9　4 8. [2021·北京市第四十三中学高一月考]已知点A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1) 求证:AB⊥AD; (2) 要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值. 【解析】 (1) 证明:∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),∴=(1,1),=(-3,3),又∵·=1×(-3)+1×3=0,∴⊥,即AB⊥AD.　(2) ∵⊥,四边形ABCD为矩形,∴=.设点C坐标为(x,y),则=(1,1),=(x+1,y-4),∴解得∴点C坐标为(0,5).由于=(-2,4),=(-4,2),∴·=8+8=16>0,||=2,||=2,设与的夹角为θ,则cosθ===>0.∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为. B组　综合运用 9. 设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数λ的值为 (　　) A. 3 B. -3 C. ±3 D. ±9 【解析】 ∵a+λb=(3+λ,3-λ),a-λb=(3-λ,3+λ),又∵(a+λb)⊥(a-λb),∴(a+λb)·(a-λb)=(3+λ)(3-λ)+(3-λ)(3+λ)=0,解得λ=±3.故选C. 【答案】 C 10. (多选)[2022·江苏省无锡市高一阶段练习]已知△ABC是边长为2的等边三角形,D,E分别是边AC,AB上的点,且=,=2,BD与CE交于点O,则下列说法中正确的有 (　　) A. ·=-1 B. =+ C. +=0 D. = 【解析】 易知E为AB的中点,则CE⊥AB,以E为原点,EA,EC所在直线分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系,如图,则有