第六章 6.2.4向量的数量积-（配套练习）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时5　向量的数量积(1)  A组　基础巩固 1. 在边长为2的正三角形ABC中,·等于 (　　) A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 【解析】 设向量与的夹角为θ,由题意知θ=120°,则·=||·||cosθ=2×2×cos120°=-2.故选B. 【答案】 B 2. 已知|b|=3,a在b方向上的投影向量是,则a·b等于 (　　) A. 3 B. C. 2 D. 【解析】 设向量a与b的夹角为θ,由已知得|a|cosθ=,∴a·b=|a||b|cosθ=|b|·|a|cosθ=3×=.故选B. 【答案】 B 3. 已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·等于 (　　) A. -a2 B. -a2 C. a2 D. a2 【解析】 由题意得||=a,·=||·||cos30°=a·a·=a2.故选D. 【答案】 D 4. 已知O是△ABC内一点,++=0,·=2且∠BAC=60°,则△OBC的面积为(　　) A. B. C. D. 【解析】 ∵++=0,∴O是△ABC的重心,于是S△OBC=S△ABC.∵·=2,∴||||·cos∠BAC=2,∵∠BAC=60°,∴||||=4.又S△ABC=||||sin∠BAC=×4×=,∴△OBC的面积为.故选A. 【答案】 A 5. (多选)已知向量a,b和实数λ,则下列选项中正确的有 (　　) A. 若a与b是两个单位向量,则a2=b2 B. |a·b|=|a||b| C. λ=λa+λb D. |a·b|≤|a||b| 【解析】 由|a|=|b|=1,可得|a|2=|b|2,故A正确;|a·b|=||a|·|b|cosθ|≤|a|·|b|(θ为向量a与b的夹角),故B错误;由向量数乘运算律知λ(a+b)=λa+λb,可知C正确;由B可知,|a·b|≤|a||b|,故D正确.故选ACD. 【答案】 ACD 6. 已知|a|=3,|b|=5,a·b=-12,且e是与b方向相同的单位向量,则a在b方向上的投影向量为　　　　.  【解析】 设a与b的夹角θ,则cosθ===-,∴a在b上的投影向量为|a|cosθ·e=3×e=-e. 【答案】 -e 7. [2021·陕西省商洛市高二期末]向量,都是单位向量,若·=,则∠ABC=　　　　.  【解析】 ∵∠ABC是向量,的夹角,∴cos∠ABC==-,∴∠ABC=. 【答案】 8. 已知|a|=4,|b|=5,在下列条件下,分别求a与b的数量积: (1) a∥b;(2) a⊥b;(3) a与b的夹角为30°. 【解析】 (1) 当a∥b时,a与b的夹角θ=0°或θ=180°.若θ=0°,则a·b=|a||b|cos0°=4×5×1=20;若θ=180°,则a·b=|a||b|cos180°=4×5×(-1)=-20.　(2) 当a⊥b时,a与b的夹角θ=90°,所以a·b=|a||b|cos90°=4×5×0=0.　(3) 当a与b的夹角θ=30°时,a·b=|a||b|cos30°=4×5×=10. B组　综合运用 9. [2022·山东省青州市高三月考改编题]定义|a×b|=|a||b|sinθ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于 (　　) A. -8 B. 8 C. -8或8 D. 6 【解析】 由|a|=2,|b|=5,a·b=-6,得cosθ==-,又θ∈[0,π],∴sinθ=,∴|a×b|=|a||b|sinθ=2×5×=8.故选B. 【答案】 B 10. [2022·浙江省杭州市第九中学高一期中改编题]已知a,b为非零向量,则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的 (　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【解析】 根据向量数量积的定义可知,若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或零角,若a与b的夹角为锐角,则一定有a·b>0,∴“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件,故选B. 【答案】 B 11. 已知△ABC中,=a,=b,=c,=5,=12,=13.则a·b+b·c+c·a的值为　　　　.  【解析】 由已知条件,可知△ABC为直角三角形,故cosA=,cosB=,cosC=0.故可得a·b+b·c+c·a=(-cosC)+(-cosA)+· (-cosB)=0+156×+65×=-169. 【答案】 -169 12. 第12题 如图,已知边长为a的正三角形ABC内接于圆O,D为边BC的中点,E为线段BO的中点. (1) 求·的值; (2) 求·的值. 【解析】 (1) ∵△ABC是正三角形,O是三角形ABC内接圆的圆心,∴⊥,∴·=0. 第12题答图