第二章 等式与不等式（知识清单+典型例题）-【满分全攻略】2023-2024学年高一数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第一册）

第二章 等式与不等式（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 【考点1：等式与不等式的性质】 1.等式的性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，，那么；、 （2）加法性质 设、、均为实数，如果，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数，如果，那么； 还可以“验证”与“推广”得性质与推论： （4）如果，那么； （5）如果，那么； （6）如果，，那么； 【注意】等式性质成立的条件，特别是性质（6）中的“”； 2.不等式的性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，那么； （2）加法性质 设、、均为实数，如果a>b，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数， 如果，那么；如果，那么； （4）性质 设、均为实数，如果那么a； （5）性质 设、、均为实数，如果，则a>c－b； (不等式的移项法则) （6）性质 设、、、均为实数，如果，，那么； (同向可加性) （7）性质 设均为实数，如果，，那么； （8）性质 设、均为实数，如果，那么； （9）性质 设、均为实数，如果，那么 【注意】（1）性质（5）表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边； （2）性质（6）表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向； （3）性质（8）表明， n个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向； 题型一：等式的性质 1.已知等式ax＝ay，下列变形不正确的是(　　) A．x＝y　 B．ax＋1＝ay＋1 C．2ax＝2ay D．3－ax＝3－ay 答案：A；　[A.∵ax＝ay，∴当a≠0时，x＝y，故此选项错误，符合题意； B．∵ax＝ay，∴ax＋1＝ay＋1，故此选项正确，不合题意； C．∵ax＝ay，∴2ax＝2ay，故此选项正确，不合题意； D．∵ax＝ay，∴3－ax＝3－ay，故此选项正确，不合题意．故选A.] 2.下列式子中变形错误的是（ ） A．若3x－1＝2x－1，则x＝0 B．若ac＝bc，则a＝b C．若＝，则＝ D．若＝，则y＝x 【答案】B； 【解析】对于A选项，两边同时减，得到x＝0，故A正确；对于B选项，没有说明c≠0，故B不正确；对于C选项，在等式两边同时乘以a，得到＝.故C正确；对于D选项，在等式两边同时乘以5得到y＝x，故D正确； 题型二：方程 3.（2022·上海·高一专题练习）设，求关于的方程的解集． 【答案】当时，解集为；当时，解集为． 【分析】移项得，再分，两种情况讨论求解即可. 【详解】解:移项，得， 当时，，故解集为； 当时，方程有无数个解，全体实数均可以，所以解集为． 综上，当时，解集为；当时，解集为． 4.（2022·上海·高一专题练习）设，求方程组的解集． 【答案】当时，解集为；当时，解集为． 【分析】两式作差得到，再对与分两种情况讨论，即可得解； 【详解】解：因为 两式相减，得到， 当时，，代入方程组中的第一式，得到，此时，原方程组的解集为． 当时，方程，无解，从而原方程组无解，其解集为． 5.（2022秋·上海徐汇·高一校考阶段练习）已知且，求关于，的方程组的解集． 【答案】 【分析】直接解方程组即可. 【详解】由， 得（），得， 所以， 即 所以方程组的解集为 6.（2023·上海·高一专题练习）解关于，的方程组：． 【分析】分别讨论、、时的解即可. 【详解】（1）当时，，方程组解为； （2）当时，，方程组无解； （3）当时，两式相加得，两式相减得，方程组解为 7.用因式分解法求下列方程的解集： （1）6x(x＋1)＝5(x＋1)；（2）(2x－1)2－(x＋1)2＝0；（3）(x＋3)(x＋1)＝6x＋2； 【解析】（1）分解因式，得(6x－5)(x＋1)＝0，所以6x－5＝0或x＋1＝0，所以x1＝，x2＝－1； 所以方程的解集为； （2）分解因式，得[(2x－1)＋(x＋1)][(2x－1)－(x＋1)]＝0，所以3x(x－2)＝0，所以x1＝0，x2＝2. 所以方程的解集为{0，2}； （3）整理，得x2－2x＋1＝0.即(x－1)2＝0，所以x1＝x2＝1；所以方程的解集为{1}； 8.（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知关于x的方程（m、）. (1)求方程的解集A. (2)若，关于上述方程仅有正整数解，求m的所有取值组成的集合B. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分；，；，三种情况讨论即可求解； （2）由题意及（1）问结论知，，且，从而即可求解. 【详解】（1）解：由题意，可得， ①当时，解集为； ②当，时，解集为； ③当，时，解集为. （2）解：由题意及（1）问结论知，，且， 所