6.4 探索三角形相似的条件（第2课时）（课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课件（苏科版）

第6章 · 图形的相似 6.4 探索三角形相似的条件（2） 第2课时 利用两角证相似 1 学习目标 1.会证明“两角分别相等的两个三角形相似”； 2.会用已知两角相等证明两个三角形相似，进而解决有关问题． 知识回顾 在学习全等三角形时，我们知道，除了可以通过证明各角分别相等、各边分别相等来判定两个三角形全等外，还可以减少判定条件. 全等判定： (对应)边角都等 (6组量) 判定方法 角边角 角角边 边角边 边边边 三角对应相等, 三边对应成比例 1. 两角对应相等 2. 两边对应成比例且夹角相等 3. 两边对应成比例且 其中一边的对角相等 类似地，判定两个三角形相似还有没有其他的判定方法呢？ 4. 三边对应成比例 实践与探索 活动一 如图，已知∠α、∠β. α β 作△ABC，使∠A=∠α、∠B=∠β. 这样的三角形可以作多少个？ 它们都相似吗？ β β β 实践与探索 活动二 如图，在△ABC 和 △A′B′C′ 中，∠A=∠A′，∠B=∠B′. A B C A′ B′ C′ A′ B′ C′ 平移△A′B′C′ 使点A与点A′重合，A′B′落在AB上(假设AB＞A′B′). △ABC 和 △A′B′C′相似 吗？为什么？ 相似，理由如下： 由∠A=∠A′， 可知A′C′落在AC上 根据例1所得的结论可得 △ABC∽△A′B′C′. 因为平移不改变形状和大小， 所以△ABC∽△A′B′C′. 实践与探索 已知：如图，在△ABC 和 △A′B′C′ 中，∠A=∠A′，∠B=∠B′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：在线段AB上截取AD＝A′B′， 过点D作DE∥BC，交AC于点E. 根据例1所得的结论可得 △ABC∽△ADE. ∴∠ADE＝∠B. ∵∠B＝∠B′， ∴∠ADE＝∠B′. 又∵∠A＝∠A′，AD＝A′B′， ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′. A B C A′ B′ C′ E D 新知归纳 两角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 符号语言： A B C A′ B′ C′ 三角形相似的判定定理1: 在△ABC和△A'B'C'中， 1. 过△ABC (∠C＞∠B)的边AB上一点D作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角形与△ABC相似，这样的直线有几条？请把它们一一作出来． 讨论与交流 A B C E D A B C E D 作DE，使∠ADE=∠B(或DE∥BC) 作DE，使∠AED=∠B 2.在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，=k，∠B=∠B'. (1)当k=1时，△ABC与△A'B'C'有怎样的关系？ (2)当k≠1时，△ABC与△A'B'C'有怎样的关系？ 讨论与交流 A B C A′ B′ C′ (2)当k≠1时，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可以得到△ABC∽△A'B'C' . 解：(1)当k=1时，AB=A'B'，根据“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”,可以得到△ABC≌ △A'B'C'; ①所有的等腰三角形都相似; ②所有的直角三角形都相似； ③所有的等腰直角三角形都相似; ④所有的等边三角形都相似; ⑤有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似; ⑥有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似. 1.下列说法正确的有___________ ③④⑤ 新知巩固 对应 新知巩固 ② ① ④ 2.如图，已知点D、E分别在AB、AC或它们的延长线上，且∠1=∠2，分别指出图中的相似三角形. △ADE∽△ACB △ADE∽△ABC △ADC∽△ACB △ADE∽△ACB E A B C D 1 2 A B C D 1 2 ③ E A B C D 1 2 B E A C D 1 2 注意对应顶点放在对应位置. 最常见的两个相似三角形基本模型：“A” 型和“X”型. 例1 如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝50°，∠B＝∠B′＝60°，∠C′＝70°，△ABC与△A′B′C′相似吗？为什么？ 新知应用 A′ B′ C′ 60° 70° A B C 60° 50° 解：△ABC与△A′B′C′ 相似. 在△ABC中， ∵ ∠A=50°，∠B=60°， ∴ ∠C=180°－(50° +60° )＝70°. 在△ABC和△DEF中 ∵ ∠B=∠B′，∠C=∠C′， ∴ △ABC∽△A′B′C′ (两角分别相等的两个三角形相似). 新知应用 例2 如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE = ∠CAD. △ADE与△ABD 相似吗？为什么？ E A B C D 解:△ADE与△ABD相似. ∵∠ADB = ∠A