13.1.2 垂直平分线-【高分突破系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精品讲义与分层练习（人教版）

第十三章 轴对称 13.1.2 垂直平分线 1 垂直平分线 （1）定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线； 如下图，，且，则是线段的垂直平分线，或称中垂线. （2）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 如下图，若是线段的垂直平分线，点在直线上，则.（利用全等三角形可证明） （3）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 如下图，若，则点在线段的垂直平分线上；（利用全等三角形可证明） 拓展：若，，则是线段的垂直平分线. （4）垂直平分线的尺规作图 尺规作图：作线段的垂直平分线. 作法：以,为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，，作直线，则直线所求直线. （5）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 2 三角形的外心 （1）定义：三角形外接圆的圆心叫做该三角形的外心. （2）三角形三边的垂直平分线的交点是这个三角形的外心. 如下图，直线，，分别是三角形三边、和的垂直平分线，它们会交于一点，点就是三角形的外心. 证明 设直线，交于点， 依题意可得，，则， 所以点在线段的垂直平分线上，即直线，，交于同一点. 因为， 所以以点为圆心，为半径画个圆，该圆必过三角形三个顶点，，. 【题型1】线段垂直平分线的性质 【典题1】 如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线DE交BC于点E，交AC于点D，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝　 　°． 【典题2】已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F． ①求证：BE＝CF； ②若AF＝6，BC＝7，求△ABC的周长． 【巩固练习】 1.如图，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°．AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，则△AEF的周长为(　　) A．2 B．1 C．4 D．3 2.如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为(　　) A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 3.如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝42°，AB的垂直平分线MN交AC于D点，连接BD，则∠DBC的度数是(　　)​ A．22° B．27° C．32° D．40° 4.如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AD⊥BC，D为BE的中点． (1)求证：AB＝CE．(2)若∠C＝32°，求∠BAC的度数． 【题型2】线段垂直平分线的判定 【典题1】 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10．请你解答下列问题： (1)求BC的长； (2)试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由． 【巩固练习】 1.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC上一点，BC＝DC，过点D作AC的垂线交AB于点E，求证：CE垂直平分BD． 2.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E． (1)若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；(2)求证：直线AD是线段CE的垂直平分线． 【题型3】 三角形的外心 【典题1】如图，△ABC中，∠A＝70°，点O是AB、AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数为(　　) ​ A．20° B．30° C．25° D．35° 【巩固练习】 1.到三角形各顶点距离相等的点是三角形三条(　　) A．中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．角平分线的交点 D．高线的交点 2.如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC＝20°，∠PCB＝30°，则∠PAB的度数为　 　． 3.如图，点D是△ABC三边垂直平分线的交点，若∠A＝64°，则∠D＝　 　°． 【题型4】尺规作图 【典题1】 作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，并且到点A、C的距离也相等．(写出作法，保留作图痕迹) 【巩固练习】 1.在△ABC内找一点P，使点P到A，B两点的距离相等，并且点P到点C的距离等于线段AC的长．​ 2.如图所示，点A，B，C分别表示三个住宅小区，为了丰富社区居民的文化生活，拟建一个文化活动中心，使它到三个住宅小区的距离相等，请你在图中确定文化活动中心(用点D表示)的位置． 【A组---基础题】 1.如图，在△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长为21，则AC的长为(　　)​ A．6 B．9 C．10 D．12 2.如图，△ABC中，∠BAC＝70°，AB的垂直平分