13.3 等腰三角形-【高分突破系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精品讲义与分层练习（人教版）

第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形 1 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）； 如下图，在中，，则. （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称：三线合一）. ① 如下图，在等腰三角形中，，且，则，且； ② 如下图，在等腰三角形中，，且，则，且； ③ 如下图，在等腰三角形中，，且，则，且. （均可用全等三角形证明） 2 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；（简称：等角对等边） 如下图，在中，，则. （均用全等三角形证明） 3 等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形； （2）性质：三个内角都是，每条边都存在三线合一. （3）判定： ① 三条边相等的三角形是等边三角形； ② 三个角都相等的三角形是等边三角形； ③ 有一个角是的等腰三角形是等边三角形. 4 含的直角三角形 在直角三角形中，如果一个角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 如下图，在中，，，则. 证明 在上取点，使得， 又，是等边三角形， ，， 又，， ，即. 【题型1】 等腰三角形（等边三角形）的性质 【典题1】如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AC＝BD．若∠B＝50°，则∠CAD的度数为(　　) ​ A．10° B．15° C．20° D．25° 【典题2】如图，在△ABC中，AB＝AC，边BC在x轴上，且点B(﹣1，0)，点A(2，4)，则△AOC的面积为(　　) A．5 B．8 C．10 D．20 【巩固练习】 1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为(　　) A．70° B．100° C．110° D．140° 2.如图，点D是△ABC的BC边上一点，AB＝AD＝DC．若∠BAD＝80°，则∠C＝(　　) ​ A．50° B．40° C．20° D．25° 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，直线DE，FG分别经过点B，C，DE∥FG．若∠DBC＝45°，∠ACG＝10°，则∠ABE的度数为(　　) A．100° B．105° C．110° D．115° 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，若∠BAD＝35°，则∠C＝(　　) A．65° B．55° C．50° D．45° 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC于点E，交AB于点M且AE＝CE，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交DE于点F，连接CF交AB于点G．若CG＝FG，则∠B的度数为(　　) A．75° B．70° C．65° D．60° 6.如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F． (1)若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数； (2)若点F是AC的中点，求证：∠CFD＝∠B． 【题型2】 等腰三角形（等边三角形）的判定 【典题1】 已知：在△ABC中，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且DE＝DF．求证：△ABC是等腰三角形． 【典题2】如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F，且CD＝CF． (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)当∠F＝　 　度时，△ABC是等边三角形？请证明你的结论． 【巩固练习】 1.下列对△ABC的判新，不正确的是(　　) A．若AB＝AC，∠C＝60°，则△ABC是等边三角形 B．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形 C．若∠A＝50°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形 D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40° 2.如图，在格点中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中的一条腰，这样的点C一共有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3.如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为　 　． 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．求证：△ADC是等腰三角形． 5.已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，BE⊥AC于点D，且DE＝DB，试判断△CEB的形状，并说明理由． 6.如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠ABC＝90°，点E是AC的中点． (1)求证：△BED是等腰三角形； (2)当∠DAB＝　 °时，△BED是等边三角形． 【题型3】 含的直角三角形 【典题1】 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，若BD＝3，则AD的长度为(　　) A．6 B．9 C．12 D．15 【巩固练习】 1.5月26日，“20