6.2.2 直线上向量的坐标及其运算(概念课)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

6.2.2　直线上向量的坐标及其运算(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.本节课的重点是理解直线上向量坐标的含义及运算. 2.本节课的难点是能运用直线上向量的坐标公式进行相关的计算. 逐点清(一)　直线上向量的坐标 [多维度理解] 1.直线上向量a的坐标 给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时，x称为向量a的坐标. 2.直线上向量坐标的直观解释 名称 定义 数轴 在直线l上指定一点O作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴 向量a的坐标 对于l上的任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么a的终点对应的数就是向量a的坐标 微点助解 (1)x既能刻画a的模，也能刻画向量a的方向. (2)|a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|. ①当x>0时，a的方向与e的方向相同； ②当x＝0时，a是零向量； ③当x<0时，a的方向与e的方向相反. 特别地，零向量的坐标是0. (3)向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同，当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量的终点坐标才相同. [细微点练明] 1.若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a＝－e，则(　 ) A.向量a的坐标为 　 B.向量a的坐标为e C.向量a的坐标为－ 　 D.向量a的坐标为－e 解析：选C　根据直线上向量坐标的定义知，向量a的坐标为－. 2.如图所示，向量，的坐标分别是(　 ) A.－3,2 B.－3,4 C.2，－2 D.2,2 解析：选C　由数轴上向量坐标的定义可知＝2e，＝－2e，所以向量，的坐标分别是2，－2. 3.已知e是直线l上的一个单位向量，向量a与b都是直线l上的向量，分别在下列条件下写出a与b的坐标： (1)a＝3e，b＝－6e； (2)a＝－e，b＝2e. 解：(1)∵a＝3e，b＝－6e，∴a的坐标为3，b的坐标为－6. (2)∵a＝－e，b＝2e，∴a的坐标为－，b的坐标为2. 逐点清(二)　直线上向量的运算与坐标的关系 [多维度理解] 文字语言 符号语言 直线上两个向量相等 直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等 设a＝x1e，b＝x2e，则a＝b⇔x1＝x2 直线上两个向量和的坐标 直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和 设a＝x1e，b＝x2e， 则a＋b＝(x1＋x2)e 微点助解 向量的坐标运算可完全类比实数的运算进行. [细微点练明] 1.已知直线上向量a，b的坐标分别为－2,2，则向量a＋b的坐标为(　 ) A.1 B.－1 C.0 D.4 解析：选B　因为向量a，b的坐标分别为－2,2，所以向量a＋b的坐标为－2＋2×＝－1. 2.已知A，B都是数轴上的点，O为原点，A(3)，B(－2)，则3＋4的坐标为(　 ) A.17 B.1 C.－1 D.－17 解析：选B　3＋4的坐标为3×3＋4×(－2)＝1.故选B. 3.已知直线上的向量a与向量b，向量a的坐标为－10，向量a与向量b满足关系2a－3b＝4，求： (1)向量b的坐标； (2)a＋2b的坐标. 解：(1)设直线上向量b的坐标为x，由题意可得2×(－10)－3x＝4， 解得x＝－8，即向量b的坐标为－8. (2)由(1)知a＋2b＝－10＋2×(－8)＝－26，所以a＋2b的坐标为－26. 逐点清(三)　数轴上两点间的距离、中点坐标 [多维度理解] 数轴上两点之间的距离公式 设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，则AB＝||＝|x2－x1| 数轴上的中点坐标公式 设A(x1)，B(x2)，M(x)是线段AB的中点，则x＝ 微点助解 求数轴上两点间距离的方法：要先求数轴上向量的坐标，再根据距离公式求解. [细微点练明] 1.已知数轴上两点A，B，A(1)，且A，B的中点坐标为－3，则点B的坐标是________，||＝________. 解析：设B(x)，由线段AB的中点坐标为＝－3，得x＝－7，即点B的坐标为－7.故||＝|－7－1|＝8. 答案：－7　8 2.已知a，b是直线l上的向量，向量a－3(b＋a)，b－a的坐标分别为－16,2，求|a－3b|的值. 解：设a的坐标为x，b的坐标为y.因为向量a－3(b＋a)，b－a的坐标分别为－16,2，所以解得所以|a－3b|＝10. 3.已知a，b，c是直线l上的向量，向量4a－3b,3a＋c的坐标分别为1，－3，且|a＋c|＝1，求a，b，c的坐标. 解：设a，b，c的坐标分别是x，y，z.因为向量4a－3b,3a＋c的坐标分别为1，－3，且|a＋c|＝1，所以解得或 所以a，b，c