6.1.4 数乘向量～6.1.5 向量的线性运算(强基课)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

6.1.4　数乘向量 6.1.5　向量的线性运算 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解数乘向量的定义及几何意义，了解数乘向量的运算律. 2.理解向量线性运算的定义及运算法则. 3.能利用向量的线性运算解决简单的问题. (一)数乘向量 1.数乘向量的定义 定义 一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量 模 当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a| 方向 当λ>0且a≠0时，与a的方向相同； 当λ<0且a≠0时，与a的方向相反； 当λ＝0或a＝0时，λa＝0 2.数乘向量的几何意义 把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小. 3.λ(μ a)＝(λμ)a 当λ和μ都是实数，且a是向量时：μ a是向量，λ(μ a)也是向量；λμ是实数，但(λμ)a是向量.可以看出λ(μ a)＝(λμ)a. 微点助解 (1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无法运算. (2)λa的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0. (3)在λa中，λ的符号与λa的方向有关，λ的大小与λa的模有关.当λ>0时，沿着向量a的方向放大(λ>1)或缩小(0<λ<1)到原来的λ倍；当λ<0时，沿着向量a的反方向放大(|λ|>1)或缩小(0<|λ|<1)到原来的|λ|倍. 4.向量平行、三点共线问题 (1)向量平行：如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a. (2)三点共线：一般地，如果存在实数λ，使得＝λ，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线. [基点训练] 1.若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是(　 ) A.b＝2a　　　　　　　 B.b＝－2a C.a＝2b D.a＝－2b 答案：A 2.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列关系式正确的是(　 ) A.＝3 B.＝2 C.＝ D.＝2 解析：选D　由题意可知＝－3，＝－2＝2.故只有D正确. 3.化简：(－4)×a＝________. 解析：(－4)×a＝a＝－2a. 答案：－2a (二)向量的线性运算 1.向量的加法与数乘向量的混合运算 (1)规律：一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，总是规定要先算数乘向量，再算向量加法. (2)运算律 ①一般地，对于实数λ与μ，以及向量a，有λa＋μa＝(λ＋μ)a. ②一般地，对于任意实数λ，以及向量a与b，有λ(a＋b)＝λa＋λb. 2.向量的线性运算 概念 向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算 规则 向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项 微点助解 (1)由于向量的加法满足交换律与结合律，减去一个向量可以看成加上这个向量的相反向量.因此，a－2b＋6a＝a＋(－2b)＋6a＝a＋6a＋(－2b)＝7a＋(－2b)＝7a－2b. (2)当一个向量的线性运算中含有括号时，我们可以用类似多项式运算中拆括号的方式来去掉其中的括号.如－(a－2b)＝－a＋2b. [基点训练] 1.化简：4(a－3b)－6(－2b－a)＝________. 解析：4(a－3b)－6(－2b－a)＝4a－12b＋12b＋6a＝10a. 答案：10a 2.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________. 解析：在平行四边形ABCD中，＋＝，而＝2，所以λ＝2. 答案：2 题型(一)　数乘向量的概念 [典例1]　(多选)已知a，b是两个非零向量，则下列说法正确的是(　 ) A.－2a与a是共线向量，且－2a的模是a的模的2倍 B.3a与5a的方向相同，且3a的模是5a的模的 C.－2a与2a是一对相反向量 D.a－b与－(b－a)是一对相反向量 [解析]　∵－2<0，∴－2a与a方向相反，两向量共线.又|－2a|＝2|a|，∴A正确. ∵3>0，∴3a与a方向相同，且|3a|＝3|a|. ∵5>0，∴5a与a方向相同，且|5a|＝5|a|. ∴3a与5a方向相同，且3a的模是5a的模的. ∴B正确.按照相反向量的定义可以判断C正确. ∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，∴a－b与－(b－a)为相等的向量.∴D不正确. [答案]　ABC [方法技巧] 对于数乘运算的理解，关键是对系数λ的认识 (1)当λ＞0时，λa与a同向，模是|a|的λ倍； (2)当λ＜0时，λa与a反向，模是|a|的－λ倍； (3)当λ＝0时，λa＝0.　　 [针对训练] 1.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是(　 ) A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同 C.|－λa|≥|