6.1.2 向量的加法(强基课)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

6.1.2　向量的加法(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则，理解其几何意义. 2.本节课的重点是掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则做两个向量的加法运算. 1.向量加法的三角形法则 原理 一般地，平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，作出向量，则向量称为向量a与b的和(也称为向量a与b的和向量)，记作a＋b，因此＋＝ 图示 结论 ||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b| 微点助解 (1)用三角形法则求和必须使两个向量“首尾相连”，即前一个向量的终点与后一个向量的始点重合，其和是第一个向量的始点指向第二个向量的终点的向量.简述为“加向量，首尾连；和向量，始点到终点”. (2)零向量与任一向量a的和都有a＋00a. 2.向量加法的平行四边形法则 原理 平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为＝，所以＝＋＝＋ 图示 运算律 a＋b＝b＋a 微点助解 (1)平行四边形法则的应用前提是两个向量是从同一点出发的不共线向量. (2)当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用. (3)向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义. 3.多个向量相加 原理 已知n个向量，依次把这n个向量首尾相接，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫作这n个向量的和.这个法则叫作向量求和的多边形法则 图示 运算律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 微点助解 1.向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 (1)区别：①三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调“共起点”. ②三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和. (2)联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的. 2.向量加法的运算律及模之间的不等式 (1)向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. (2)向量加法的运算律 ①加法交换律对于任意的向量a，b，都有a＋b＝b＋a. ②加法结合律对于任意的向量a，b，c，都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). (3)不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|左边取“＝”、右边取“＝”.当a，b共线，并且a，b方向相反或至少有一个为零向量时，不等式左边等号成立； 当a，b共线，并且a，b方向相同或者至少有一个为零向量时，不等式右边等号成立. [基点训练] 1.判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)两个向量相加，结果有可能是个数量.(　 ) (2)向量加法的平行四边形法则适合任何两个向量相加.(　 ) (3)在△ABC中，若＝a，＝b，则a＋b＝.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2.化简：＋＋等于(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　根据平面向量的加法运算，得＋＋＝(＋)＋＝＋＝. 3.正方形ABCD的边长为1，则|＋|为(　 ) A.1 B. C.3 D.2 解析：选B　在正方形ABCD中，AB＝1，易知AC＝，所以|＋|＝||＝. 4.(多选)下列等式不正确的是(　 ) A.a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b 　 B.＋＝0 C.＝＋＋ D.|a＋b|＝|a|＋|b| 解析：选BD　B错误，＋＝0；D错误，当a，b方向相同时成立，故选B、D. 题型(一)　向量加法的三角形法则和平行四边形法则 [典例1]　如图(1)、图(2)，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c. [解]　(1)作法：在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b. (2)在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c. [方法技巧] 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.求和作图时，可对向量进行平移.　　 [针对训练] 1.如图，按下列要求作答. (1)以A为始点，作出a＋b； (2)以B为始点，作出c＋d＋e； (3)若图表中小正方形边长为1，求|a＋b|，|c＋d|. 解：(1)将a，b的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出a＋b，如图所示. (2)先将共线向量c，d的起点同时平移到B点，计算出c＋d，再平移向量e与之首尾相接，利用三角形法则即可作出c＋d＋e，如图所示. (3)由a是单位向量可知，|a|＝1，根据作出的向量利用勾股定理可知，|