5.3.5 随机事件的独立性(强基课)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

5.3.5　随机事件的独立性(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标　 1.本课时的重点是理解相互独立事件的定义及意义，能够应用相互独立事件的概率公式解决问题. 2.本课时的难点是掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题. 1.相互独立事件 定义 一般地，设A，B为两个事件，当P(AB)＝P(A)P(B)时，就称事件A与B相互独立(简称独立) 性质 如果事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立 n个事件相互独立 对于n个事件“A1，A2，…，An相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积” 微点助解 两个事件相互独立与互斥的区别 两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 2.相互独立事件的概率公式 (1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)； (2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An). 微点助解 事件A，B相互独立有关的概率公式 事件A，B的各种情形 概率公式 A，B同时发生 P(AB)＝P(A)P(B) A，B都不发生 P()＝P()P() ＝(1－P(A))(1－P(B)) ＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B) A，B至少有一个不发生 1－P(AB)＝1－P(A)P(B) A，B至少有一个发生 1－P()＝1－P()P()＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B) A，B恰好有一个发生 P(A＋B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B) [基点训练] 1.掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现的点数大于2”，B＝“第二枚出现的点数小于6”，则A与B的关系为(　 ) A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.相等 解析：选C　对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，而且事件A，B可以同时发生，所以A，B相互独立，但不互斥，也不对立，更不相等. 2.已知事件A，B相互独立，且P(A)＝，P(AB)＝，则P(B)＝________. 解析：由题设P(AB)＝P(A)P(B)＝P(B)＝，则P(B)＝. 答案： 3.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人都获得一等奖的概率为________. 解析：因为甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，且两人是否获得一等奖相互独立，所以这两个人都获得一等奖的概率为×＝. 答案： 4.已知甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为________. 解析：由题意，得在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为0.8×(1－0.7)＋(1－0.8)×0.7＝0.38. 答案：0.38 题型(一)　相互独立事件的判断 [典例1]　(多选)口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回地依次取出两个球，事件A＝“取出的两球同色”，B＝“第一次取出的是红球”，C＝“第二次取出的是红球”，D＝“取出的两球不同色”，下列判断正确的是(　 ) A.A与B相互独立 B.A与D互为对立 C.B与C互斥 D.B与D相互独立 [解析]　由题可得P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(D)＝＝， P(AB)＝＝，P(BD)＝＝.所以P(AB)＝P(A)P(B)，P(BD)＝P(B)P(D)，所以A与B相互独立，B与D相互独立，故A、D正确；对于B，由题意知，取出两个球要么颜色相同，要么颜色不同，即A与D互为对立事件，故B正确；对于C，“第一次取出的是红球”，“第二次取出的是红球”，C与B可能同时发生，故C错误.故选A、B、D. [答案]　ABD [方法技巧] 判断两事件是否具有独立性的方法 (1)直观法：利用事件所包含的样本点直接判断两个事件的发生是否相互影响. (2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立.　　 [针对训练] 1.掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是(　 ) A.互斥但不相互独立 　　　　 B.相互独立但不互斥 C.互斥且相互独立 　　　　 D.既不相互独立也不互斥 解析：选B　事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，样本点空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}. 所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝×，即P(AB)＝P(A)P(B).因此，事件A与B相互独立.又当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件. 题