5.1.4 用样本估计总体(深化课)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

5.1.4　用样本估计总体(深化课—题型研究式教学) 课时目标　 1.本课时的重点是正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差. 2.本课时的难点是能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释. 用样本的分布估计总体的分布 (1)一般情况下，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的特征能够反映总体的特征.特别地，样本平均数(也称为样本均值)、方差(也称为样本方差)与总体对应的值相差不会太大. (2)在容许一定误差存在的前提下，可以用样本的数字特征去估计总体的数字特征. (3)分层抽样的平均数、方差 假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平 均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2. 如果记样本均值为，样本方差为b2，则＝ ＝， b2＝ ＝. 题型(一)　用样本的数字特征估计总体的数字特征 [典例1]　甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示： (1)填写下表； 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 1 乙 5.4 3 (2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析： ①从平均数和方差结合分析偏离程度； ②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些； ③从平均数和命中9环及以上的次数相结合看谁的成绩好些； ④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力. [解]　(1)由题图，得乙的打靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10，所以乙＝×(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7；乙的打靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，所以中位数是＝7.5；甲的打靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位数为7.于是填充后的表格如下表所示： 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7.5 3 (2)①甲、乙的平均数相同，均为7，但s<s，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大. ②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙打靶成绩比甲好. ③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的打靶成绩比甲好. ④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力. [方法技巧] 在日常生活中，当面对一组数据时，相比每一个观测值，有时我们更关心的是能反映这组数据特征的一些值，如本例，我们可以从平均数、中位数、百分位数、众数、极差、方差、标准差等角度进行比较.　　 [针对训练] 1.某汽车租赁公司为了调查A型汽车与B型汽车的出租情况，现随机抽取这两种型号的汽车各50辆，分别统计了每辆汽车在2022年11月22日至11月28日的出租天数，统计数据如下表： A型汽车 出租天数 3 4 5 6 7 车辆数 3 30 5 7 5 B型汽车 出租天数 3 4 5 6 7 车辆数 10 10 15 10 5 (1)试根据上面的统计数据，判断这两种型号的汽车在2022年11月22日至11月28日出租天数的方差的大小关系； (2)如果A型汽车与B型汽车每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车，并说明你的理由. 解：(1)由题表，得50辆A型汽车出租天数的平均数为A＝×(3×3＋4×30＋5×5＋6×7＋7×5)＝4.62. ∴s＝×[(3－4.62)2×3＋(4－4.62)2×30＋(5－4.62)2×5＋(6－4.62)2×7＋(7－4.62)2×5]＝1.235 6. 50辆B型汽车出租天数的平均数为B＝×(3×10＋4×10＋5×15＋6×10＋7×5)＝4.8. ∴s＝×[(3－4.8)2×10＋(4－4.8)2×10＋(5－4.8)2×15＋(6－4.8)2×10＋(7－4.8)2×5]＝1.56. ∴B型汽车在2022年11月22日至11月28日出租天数的方差较大. (2)答案一：∵A型汽车在2022年11月22日至11月28日出租天数的平均数为4.62，B型汽车在2022年11月22日至11月28日出租天数的平均数为4.8， ∴选择B型汽车的利润较大.故应该购买B型汽车. 答案二：∵A型汽车在2022年11月22日至11月28日出租天数的平均数为4.62，B型汽车在2022年11月22日至11月28日出租天数的平均数为4.8，但B型汽车出租天数的方差较大，利润不稳定. ∴应购买A型汽车.(答出一个即可) 题型(二)　分层抽