5.1.2 第2课时 极差、方差与标准差(强基课)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

第 2 课时　极差、方差与标准差(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.本节的重点是理解极差、方差和标准差的意义和作用. 2.本节的难点是会计算样本数据的这些数字特征，并能解答有关实际问题. 1.极差 一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差. 2.方差 (1)定义：如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差可用求和符号表示为s2＝ (xi－)2. (2)性质：如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2. 3.标准差 方差的算术平方根称为标准差.标准差描述了数据相对于平均数的离散程度，一般用s表示. s＝. 微点助解 (1)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述，极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值极为敏感，一般情况下，极差大，则数据波动性大；极差小，则数据波动性小.极差只需考虑两个极端值，便于计算，但没有考虑中间的数据，可靠性较差. (2)标准差和方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，方差、标准差的运算量较大.因为方差与原始数据单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以虽然标准差与方差在体现数据离散程度上是一样的，但解决问题时一般用标准差. [基点训练] 1.请你运用数学学习中所学的统计知识加以分析，下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是(　 ) A.平均数小，方差大 B.平均数小，方差小 C.平均数大，方差大 D.平均数大，方差小 解析：选D　方差反映的是一组数据的波动情况，方差越大说明数据偏离平均水平的程度越大，平均数是整体的平均水平，是一组数据的集中程度的刻画，所以最能体现共同富裕要求的是平均数大，方差小. 2.下列说法正确的是(　 ) A.在两组数据中，平均数较大的一组方差较大 B.平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小 C.方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和 D.在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高 解析：选B　A在两组数据中，平均数与方差所表示的意义不同，由此不能根据平均数的大小来衡量其方差的大小，所以A的说法错误；易知C、D的说法错误，只有B正确，故选B. 3.已知样本x1，x2，x3，…，xn方差s2＝2，则样本2x1＋1,2x2＋1,2x3＋1，…，2xn＋1的方差为________. 解析：由方差的性质知，所求方差为4s2＝8. 答案：8 4.已知样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本方差为________. 解析：∵样本的平均数为1，∴(a＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a＝－1.∴样本方差为s2＝[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2. 答案：2 题型(一)　极差、方差、标准差的计算 [典例1]　(1)已知某9个数据的平均数为6，方差为5，现又加入一个新数据6，此时这10个数的平均数和方差分别为(　 ) A.6， B.6， C.5， D.5,5 (2)一组数据按从小到大的顺序排列为1,2,2，x,5,10，其中x≠5，已知该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的标准差为________. [解析]　(1)设原9个数据分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9， 现又加入一个新数据6，此时这10个数为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9,6 则这10个数的平均数为 (a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋6)＝6， 这10个数的方差 s2＝[(a1－6)2＋(a2－6)2＋(a3－6)2＋(a4－6)2＋(a5－6)2＋(a6－6)2＋(a7－6)2＋(a8－6)2＋(a9－6)2＋(6－6)2]＝＝. (2)由题意，可得该组数据的众数为2，所以＝×2＝3，解得x＝4， 故该组数据的平均数为×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4. 所以该组数据的方差为×[(1－4)2＋(2－4)2＋(2－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2]＝9，即标准差为3. [答案]　(1)A　(2)3 [方法技巧] 求方差的基本方法 (1)先求平均值，再代入公式s2＝ (xi－)2，或s2＝x－2. (2)当一组数据重复数据较多时，可先整理出频数表，再计算s2.　　 [针对训练] 1.一组数据按从小到大的顺序排列为56,59,60,62，a，若这组数据的极差为7，则这组数据的方差为(　 ) A.30 B.6 C.25 D.5 解析：选B　由题意得a＝56＋7＝63，所以这组数据的平均数为＝60，方差为＝6，故选B. 2.若40个数据的平方和是56，平均数是，则这组数据的标准差是________. 解析：设这40个数据为