4.2.2 对数运算法则(强基课)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

4.2.2　对数运算法则(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解对数的运算性质，能熟练运用对数的运算性质化简求值. 2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. (一)积、商、幂的对数 1.对数的运算性质 若a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，α∈R，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)logaMα＝αlogaM； (3)loga＝logaM－logaN. 微点助解 对数的运算性质 ①对数运算性质的语言表达：“积的对数＝对数的和”，“商的对数＝对数的差”. ②对数的运算性质实际上是将积、商、幂的运算分别转化为对数的加、减、乘的运算. ③注意性质的使用条件：每一个对数都要有意义. log2(－3)(－5)＝log2(－3)＋log2(－5)是不成立的，log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的. 2.对数运算中的常用结论 已知a＞0，且a≠1. (1)loga＝logaM－1＝－logaM(M＞0)； (2)loga＝logaM＝logaM(M＞0，n，p∈N＋，p，n＞1)； (3)推广：logaN1＋logaN2＋…＋logaNk＝loga(N1·N2·…·Nk)(k∈N＋，N1，N2，…，Nk均大于0). [基点训练] 1.计算log84＋log82等于(　 ) A.log86 B.8 C.6 D.1 解析：选D　log84＋log82＝log88＝1. 2.计算log510－log52等于(　 ) A.log58 B.lg 5 C.1 D.2 答案：C 3.已知lg 3＝a，lg 7＝b，则lg 的值为(　 ) A.a－b2 B.a－2b C. D. 解析：选B　∵lg 3＝a，lg 7＝b，∴lg ＝lg 3－lg 49＝lg 3－2lg 7＝a－2b. (二)换底公式 1.对数换底公式 logab＝(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1). 2.推论 (1)logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1). (2)logab·logbc·logca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1). 微点助解 (1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义. (2)运用换底公式可以改变对数式的底数，把不同底数问题转化为同底数问题来进行化简、计算和证明. (3)实际应用换底公式时，底数究竟换成什么要由具体的已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数. [基点训练] 1.计算log92×log43＝(　 ) A.4 B.2 C. D. 解析：选D　log92×log43＝×＝×＝. 2.若lg 3＝a，lg 2＝b，用a，b表示log43＝________. 解析：log43＝＝＝. 答案： 题型(一)　利用对数运算法则化简或求值 [典例1]　计算下列各式的值： (1)lg－lg＋lg； (2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2. [解]　(1)法一：原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5) ＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5 ＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝. 法二：原式＝lg－lg 4＋lg(7)＝lg＝lg(×)＝lg＝. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. [方法技巧] 利用对数运算法则化简与求值的原则和方法 (1)基本原则： ①正用或逆用运算法则，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.　　 2两种常用的方法：,①“收”，将同底的两对数的和差收成积商的对数；,②“拆”，将积商的对数拆成同底的两对数的和差. [针对训练] 1.化简：(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)； (3)log535－2log5＋log57－log51.8. 解：(1)原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 5－lg 2＋2lg 2＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1. (2)原式＝＝＝. (3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2. 题型(二)　换底公式的应用 [典例2]　已知log37＝a,2b＝3，试用a，b表示log1456. [解]　因为2b＝3，所以b＝log23， 即log32＝.