10.2 事件的相互独立性(深化课—题型研究式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

10.2　事件的相互独立性(深化课—题型研究式教学) 课时目标 了解两个事件独立性的含义，结合古典概型，会利用事件的独立性计算概率. 1．相互独立事件的定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 2．相互独立事件的性质 当事件A，B相互独立时，事件A与事件相互独立，事件与事件B相互独立，事件与事件相互独立． 3．推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n＞2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 4．相互独立事件与互斥事件的关系 A，B关系 概率记法 A，B互斥 A，B相互独立 至少一个发生 P(A＋B) P(A)＋P(B) 1－P()P() 同时发生 P(AB) 0 P(A)P(B) 都不发生 P( ) 1－[P(A) ＋P(B)] P()P() 恰有一个发生 P(A＋B) P(A)＋P(B) P(A)P()＋ P()P(B) 至多一个发生 P(B＋A＋ ) 1 1－P(A)P(B) 题型(一)　相互独立事件的判断 [典例1]　判断下列各对事件是不是相互独立事件： (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”． [解]　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件． (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件． [方法技巧] 两种方法判断两事件是否具有独立性 定义法 直接判定两个事件发生是否相互影响 公式法 检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立 [针对训练] 1．判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件． (1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”；事件N：“出现的点数为偶数”． (2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”． 解：(1)∵二者不可能同时发生，∴M与N是互斥事件． (2)样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}， ∴P(A)＝＝，P(B)＝＝， P(AB)＝＝×， 即P(AB)＝P(A)P(B)． 故事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B可以同时发生，因此，A，B不是互斥事件． 题型(二)　相互独立事件概率的计算 [典例2]　甲、乙两位队员进行棒球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，则对抗赛结束．不论谁发球，每个球必有输赢．已知甲发球时甲赢的概率为，乙发球时乙赢的概率为，每次发球的结果互不影响，已知某局甲先发球． (1)求该局至多打4个球且甲赢的概率； (2)求该局恰好打6个球结束的概率． [解]　(1)该局至多打4个球且甲赢的情况有3种，甲赢前2个球；甲输第1个球再连赢球；甲赢第1个球输第2个球再连赢2个球． 故该局至多打4个球且甲赢的概率为×＋××＋×××＝. (2)若甲胜，则甲在6个球的胜负情形为胜负胜负胜胜，则甲胜的概率P1＝×××××＝. 若乙胜，则甲在6个球的胜负情形为负胜负胜负负，则乙胜的概率P2＝×××××＝. 所以该局恰好打6个球结束的概率P＝P1＋P2＝＋＝. [方法技巧] 1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤： (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生． [针对训练] 2．某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立．根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5,0.6,0.4；第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6,0.5,0.5. (1)求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率； (2)求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率． 解：(1)分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件A1，