8.6.3第2课时 平面与平面垂直的性质定理及垂直关系的相互转化（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第 2 课时　平面与平面垂直的性质定理及垂直关系的相互转化(深化课—题型研究式教学) 课时目标 1.掌握面面垂直的性质定理． 2.能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题． 平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 作用 ①面面垂直⇒线面垂直； ②作平面的垂线 微点助解 (1)对面面垂直的性质定理的理解 ①定理成立的条件有三个： 两个平面互相垂直；直线在其中一个平面内；直线与两平面的交线垂直． ②定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直． ③已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直． (2)平面与平面垂直的其他性质 ①如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内． ②如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面． ③如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内． 题型(一)　平面与平面垂直的性质定理的应用 [典例1]　如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB. 　　　 [证明]　如图，在平面PAB内， 作AD⊥PB于点D. ∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，∴AD⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC. 又∵PA∩AD＝A，PA⊂平面PAB，AD⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB. 又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB. [方法技巧] 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点： (1)两个平面垂直． (2)直线必须在其中一个平面内． (3)直线必须垂直于它们的交线． [针对训练] 1．平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，试判断直线a与平面α的位置关系． 解：如图，设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c. 根据平面与平面垂直的性质定理有b⊥β. 因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直， 所以直线a与直线b重合，因此a⊂α. 题型(二)　垂直关系的相互转化 [典例2]　如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点． 求证：(1)DE＝DA； (2)平面BDM⊥平面ECA； (3)平面DEA⊥平面ECA. [证明]　(1)设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F， 则CF＝DB＝a.因为CE⊥平面ABC，所以BC⊥CF，DF⊥EC，所以DE＝＝a. 又因为DB⊥平面ABC，所以DA＝＝a.所以DE＝DA. (2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MN綉CE綉DB.所以四边形MNBD为平行四边形．所以MD∥BN. 又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD. 又DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE. 因为EC∩AE＝E，EC，AE⊂平面AEC，所以DM⊥平面AEC. 又DM⊂平面BDM，所以平面BDM⊥平面ECA. (3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM⊂平面DEA， 所以平面DEA⊥平面ECA. [变式拓展] 　本例条件不变，试求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小． 解：如图，延长ED交CB延长线于点N，连接AN.设BD＝a，由例题知，CE＝AC＝BC＝AB＝2a. 在△CEN中，由＝知B为CN的中点， ∴CB＝BN＝2a. ∴△ABN中，∠ABN＝120°，∠BAN＝∠BNA＝30°. ∴∠CAN＝90°，即NA⊥CA. 又EC⊥平面ABC，∴EC⊥NA.又CA∩CE＝C，CA，CE⊂平面ACE， ∴NA⊥平面ACE.又AC，AE⊂平面ACE，∴NA⊥AE，NA⊥AC. 又AN为平面ADE与平面ABC的交线． ∴∠CAE为平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角． 在Rt△ACE中，AC＝CE，∴∠CAE＝45°. ∴平面ADE与平面ABC所成二面角为45°. [方法技巧] 垂直关系的转化 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下： 　　 [针对训练] 2.如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足． (1)求证：PA⊥平面ABC； (2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形． 证明：(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F. ∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，DF⊂平面ABC， ∴DF⊥平面PAC. ∵PA⊂平面PAC，