8.6.2 第2课时 直线与平面垂直的性质定理及线面垂直的综合问题(深化课—题型研究式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第 2 课时　直线与平面垂直的性质定理及线面垂直的综合问题 (深化课—题型研究式教学) 课时目标 1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面垂直的性质定理． 2．会应用线面垂直的性质定理证明一些简单的线面关系． 1．直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 作用 1 线面垂直⇒线线平行，②作平行线 2.线面距与面面距 (1)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． (2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 3．直线与平面垂直的性质 (1)⇒l⊥b.(2)⇒a∥b. (3)⇒b⊥α.(4)⇒a⊥β. (5)⇒α∥β. (6)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． (7)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 题型(一)　直线与平面垂直性质定理的应用 [典例1]　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. [证明]　∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB. 又AB∥CD，∴AE⊥CD. ∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. ∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD. 又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN. [方法技巧] 关于线面垂直性质定理的应用 在证明与垂直相关的平行问题时，可以考虑线面垂直的性质定理，利用已知的垂直关系构造线面垂直，关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面．　　 [针对训练] 1.如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l. 证明：∵PA⊥α，l⊂α，∴PA⊥l.同理PB⊥l. ∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴l⊥平面PAB.又∵PA⊥α，a⊂α，∴PA⊥a. ∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴a⊥平面PAB.∴a∥l. 题型(二)　线面垂直的综合问题 [典例2]　如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点． (1)求证：C1D⊥平面AA1B1B； (2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论． [解]　(1)证明：因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°. 又D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1. 因为AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1， 所以AA1⊥C1D.又A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1⊂平面AA1B1B， 所以C1D⊥平面AA1B1B. (2)如图，作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F为所求． 因为C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B， 所以C1D⊥AB1. 又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D， 所以AB1⊥平面C1DF. 因为AA1＝A1B1＝， 所以四边形AA1B1B为正方形． 又D为A1B1的中点，DF⊥AB1， 所以F为BB1的中点． 所以当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF. [方法技巧] 线线、线面垂直问题的解题策略 (1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面． (2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来． [针对训练] 2.如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4. (1)求证：AC⊥平面BCE； (2)求证：AD⊥AE. 证明：(1)在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，所以AC＝BC＝2. 所以AC2＋BC2＝AB2.所以AC⊥BC. 因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE， 所以BE⊥平面ABCD. 又AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC. 又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B， 所以AC⊥平面BCE. (2)因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 所以AF⊥AD. 又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD. 又AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，所以AD⊥平面ABEF. 又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE. 题型(三)