8.6.2 第1课时 直线与平面垂直的判定定理(强基课—梯度进阶式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

8.6.2　直线与平面垂直 第 1 课时　直线与平面垂直的判定定理 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面垂直的判定定理． (一)直线与平面垂直的定义及有关概念 定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 性质 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条 垂线段与点面距 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离 微点助解 关于直线与平面垂直的定义的理解 (1)定义中的“任意一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直． (2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式． (3)若直线与平面垂直，则直线和平面内的任意一条直线都垂直，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法． [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(　 ) (2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(　 ) 答案：(1)√　(2)√ 2．若直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　 ) A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 答案：A (二)直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 微点助解 (1)该定理涉及的元素有“一点三线一面”：①“一点”即两条直线的交点；②“三线”即平面内两条相交直线、平面的垂线；③“一面”即两条相交直线所确定的平面，也是直线的垂面． (2)该定理中有五大条件： l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，它们缺一不可． (3)两个线线垂直：定理中注意直线l与直线a，b都垂直，但要注意直线l与直线a，b的位置关系可能相交，也可能异面，即直线l可能经过交点P，也可能不经过交点P. (4)“两条相交直线”是定理中的关键，即直线a，b必须是平面α内的两条相交直线． [基点训练] 1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　 ) A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC 解析：选C　由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.故选C. 2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　 ) A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．不确定 解析：选B　一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直三角形所在平面，从而垂直第三边．故选B. (三)直线与平面所成的角 1．直线和平面所成角的有关概念 有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直(图中直线PA) 斜足 斜线和平面的交点 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面内的射影 2.直线与平面所成角的定义 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角 规定 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0° 范围 直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90° 微点助解 理解直线和平面所成角应注意的问题 (1)直线和平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°，而斜线和平面所成的角θ的取值范围是0°<θ<90°. (2)斜线和平面所成的角反映了斜线和平面的位置关系，它是转化成平面内两条相交直线所成的角度量的，它是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角． (3)当直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面成0°角；当直线与平面垂直时，直线与平面成90°角． [基点训练] 1.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　 ) A．60° B．45° C．30° D．120° 解析：选A　∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°. 2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________． 解析：如图所示，因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABC