8.6.1 直线与直线垂直(强基课—梯度进阶式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

8.6.1　直线与直线垂直(强基课—梯度进阶式教学) 1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线的垂直关系． 2．理解异面直线所成的角，并掌握两异面直线所成角的求法． 1．异面直线所成的角 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b 结论 直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 范围 记异面直线a与b所成的角为α，则0°<α≤90° 特例 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直 2.空间两直线所成的角 当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°，所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°. 微点助解 对异面直线所成的角的认识 (1)任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关． (2)转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算． (3)异面直线所成的角的大小不能是0°，若两条直线所成的角是0°，则这两条直线平行，不可能异面． (4)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直． [基点训练] 1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　 ) A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 答案：B 2．若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为________． 解析：因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以a与OB所成的角为60°. 答案：60° 3．已知正方体ABCD-EFGH，则AH与FG所成的角是________． 解析：连接BG，则BG∥AH，所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角．因为四边形BCGF为正方形，所以∠BGF＝45°. 答案：45° 题型(一)　求异面直线所成的角 [典例1]　正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　 ) A. B. C. D. [解析]　依题意，不妨设AB＝1，则AA1＝3AB＝3，因为在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，则AD1∥BC1.所以∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角．在△A1BC1中，A1C1＝AB＝，A1B＝＝，则BC1＝，由余弦定理得cos∠A1BC1＝＝. [答案]　C [方法技巧] 求异面直线所成的角的一般步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线． (2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． (3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ为所求． [针对训练] 1.在正四棱锥P-ABCD中，AB＝PA＝2，E为PC的中点，则异面直线AP与DE所成角的余弦值为(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　如图，连接AC，BD相交于O，连接OE，则O为AC的中点．又E为PC的中点，所以OE∥AP，所以∠DEO为异面直线AP与DE所成的角或其补角．又△PCD 为等边三角形，且边长为2，故DE＝.又OE＝PA＝1，OD＝BD＝，所以DE2＝OE2＋OD2，即∠EOD＝90°.所以cos∠DEO＝＝＝. 2.正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为面A′B′C′D′与面AA′D′D的中心，则EF与CD所成角的度数是________． 解析：连接B′D′，则E为B′D′ 的中点，连接AB′，则EF∥AB′. 又CD∥AB，所以∠B′AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B′AB＝45°. 答案：45° 题型(二)　证明直线与直线垂直 [典例2]　如图，空间四边形ABCD中，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.求证：AC⊥BD. [证明]　∵点G，E分别是CD，BC的中点， ∴GE∥BD，同理GF∥AC. ∴∠FGE或其补角是异面直线AC与BD所成的角． 在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3， 满足FG2＋GE2＝EF2， ∴∠FGE＝90°， 即异面直线AC与BD所成的角是90°. ∴AC⊥BD. [方法技巧] 证明两条直线垂直的策略 (1)对于共面垂直的两条直线的证明，可根据勾股定理证明． (2)对于异面垂直的两条直线的证明，可转