8.5.3 第2课时 空间平行关系的综合问题(深化课—题型研究式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第 2 课时　空间平行关系的综合问题(深化课—题型研究式教学) 题型(一)　平行关系的证明 [典例1]　如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1. (1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD； (2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC. [解]　(1)证明：因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD綉B1C1， 所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D. 又C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD， 所以AB1∥平面C1BD. 同理B1D1∥平面C1BD. 又AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1， 所以平面AB1D1∥平面C1BD. (2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1，AO1与A1C交于点E.又AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，则点E就是A1C与平面AB1D1的交点． 同理，连接AC交BD于点O，连接C1O，C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点． 下面证明A1E＝EF＝FC. 因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F， 平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F. 在△A1C1F中，O1是A1C1的中点， 所以E是A1F的中点，即A1E＝EF. 同理可证EF＝FC. 所以A1E＝EF＝FC. [方法技巧] 1．解决平行关系的综合问题的策略 (1)在遇到线面平行时，常需作(或找)出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质． (2)线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，要灵活应用，实现相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法． 2．平行关系的相互转化 常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的，如图所示． [针对训练] 1.如图所示，已知点P是▱ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面PBC∩平面PAD＝l. (1)求证：MN∥平面PAD； (2)直线PB上是否存在点H，使得平面KNH∥平面ABCD，并加以证明； (3)求证：l∥BC. 解：(1)证明：如图，取PD的中点F，连接AF，FN， 在△PCD中，易得FN∥DC，FN＝DC. 在▱ABCD中，易得AM∥CD，AM＝CD，所以AM∥FN，AM＝FN， 所以四边形AFNM为平行四边形，所以AF∥MN，又AF⊂平面PAD，MN⊄平面PAD， 所以MN∥平面PAD. (2)存在．当H为PB中点时，平面KNH∥平面ABCD. 证明如下：取PB的中点H，连接KH，NH. 在△PBC中，易得NH∥BC，又NH⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD， 所以NH∥平面ABCD， 同理可证KH∥平面ABCD. 又KH⊂平面KNH，NH⊂平面KNH，KH∩NH＝H， 所以平面KNH∥平面ABCD. (3)证明：因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD， 又因为平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l. 题型(二)　线面平行中的探索性问题 [典例2]　在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论． [解]　存在点M，且点M是AB的中点时，直线DE∥平面A1MC，证明如下． 如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C和AC1. 设O为A1C，AC1的交点，则O为AC1的中点．连接MD，OE，OM，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，所以MD∥AC且MD＝AC，OE∥AC且OE＝AC. 因此MD∥OE且MD＝OE. 从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO. 因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC. 即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC. [方法技巧] 对于结论探究性问题，一般是假设其存在，再进行证明，或先选取中点或找到特殊直线进行验证，并给出证明． [针对训练] 2.如图所示，在四棱锥C-ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点． (1)求证：GF∥平面ABC； (2)线段BC上是否存在一点H，使得平面GFH∥平面ACD？若存在，请找出点H并证明；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：由四边形ABED为正方形可知，连接AE必与BD相交于中点F， 故GF∥AC .∵GF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC. (2)线段BC上存在一