8.5.1 直线与直线平行(强基课—梯度进阶式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

8.5.1　直线与直线平行(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.了解基本事实4及定理(等角定理)． 2．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线平行的关系． 3．能利用基本事实4和定理判定和证明空间两条直线的位置关系． (一)基本事实4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言 符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥b 作用 证明两条直线平行 微点助解 (1)在同一个平面内没有公共点的两条直线叫做平行直线． (2)两个重要结论： ①过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． ②在同一个平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． (3)基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性． [基点训练] 1．已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是(　 ) A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 解析：选A　∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d. 2．如图，在四面体S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是(　 ) A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 答案：A (二)空间等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 微点助解 (1)空间等角定理实质上是由如下两个结论合成的： ①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同(或方向都相反)，则这两个角相等； ②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补． (2)空间等角定理表明，把空间中的一个角平移后，角的大小不变． (3)由空间等角定理可得，如果两条相交直线与另两条相交直线对应平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等． [基点训练] 1．两等角的一组对应边平行，则(　 ) A．另一组对应边平行 B．另一组对应边不平行 C．另一组对应边不可能垂直 D．以上都不对 答案：D 2．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝(　 ) A．30° B．150° C．30°或150° D．大小无法确定 解析：选C　当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相同时，∠B′A′C′＝30°，方向相反时，∠B′A′C′＝150°. 题型(一)　基本事实4及其应用 [典例1]　如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点．求证：EE′∥FF′. [证明]　因为E，E′分别是AB，A′B′的中点， 所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′. 所以四边形EBB′E′是平行四边形． 所以EE′∥BB′.同理可证FF′∥BB′. 所以EE′∥FF′. [变式拓展] 　在本例中，若M，N分别是A′D′，C′D′的中点，求证：四边形ACNM是梯形． 证明：在正方体中，MN∥A′C′，且MN＝A′C′， 因为A′C′∥AC，且A′C′＝AC， 所以MN∥AC，且MN＝AC. 又AM与CN不平行，故四边形ACNM是梯形． [方法技巧]　证明空间两条直线平行的方法 (1)平面几何法 三角形中位线、平行四边形的性质等． (2)定义法 用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点． (3)基本事实4 用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，由基本事实4即可得到a∥c. [针对训练] 1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，CC1的中点，求证：BFD1E是平行四边形． 证明：如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE. 因为F为CC1的中点， 所以BG∥FC1，且BG＝FC1. 所以四边形BFC1G是平行四边形． 所以BF∥GC1，BF＝GC1. 又因为EG∥A1B1，EG＝A1B1，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1， 所以EG∥C1D1，EG＝C1D1. 所以四边形EGC1D1是平行四边形． 所以ED1∥GC1，ED1＝GC1.所以BF∥ED1，BF＝ED1. 所以四边形BFD1E是平行四边形． 题型(二)　等角定理及其应用 [典例2]　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1. [证明]　如图，连接B1C.因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF∥B1C. 又ABCD-A1B1C1D1为正方体， 所以CD∥AB，A1B1∥AB. 所以CD∥A1B1. 所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D∥B1C.