8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系(强基课—梯度进阶式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.借助长方体，了解两条直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系． 2．能抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，会用符号语言与图形语言表示点、线、面之间的位置关系． (一)空间中直线与直线的位置关系 1．异面直线的定义和画法 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2)画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托，如图①②. 2．空间两条直线的位置关系有三种 微点助解 对异面直线需注意的两个问题 (1)“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，即异面直线既不平行，也不相交． (2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．在两个不同平面内的直线，既可以是平行直线，也可以是相交直线，还可以是异面直线． [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)没有公共点的两条直线一定是异面直线．(　 ) (2)两直线垂直，则这两条直线一定相交．(　 ) (3)两直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________； (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是______； (4)直线AB与直线B1C的位置关系是________． 答案：(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面 (二)空间中直线与平面的位置关系 位置关系 直线在平面内 直线在平面外 直线与平面相交 直线与平面平行 公共点 无数个 1个 0个 符号语言 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形语言 微点助解 直线与平面位置关系的画法 (1)画直线l在平面α内：如图a所示． 要求：表示直线l的线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形外． (2)画直线l与平面α相交：如图b所示． 要求：表示直线l的线段必须有部分在表示平面α的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感． (3)画直线l与平面α平行：如图c所示． 要求：最直观的画法是用来表示直线l的线段在表示平面α的平行四边形之外，且与此平行四边形的一边平行． [基点训练] 1．直线l与平面α有两个公共点，则(　 ) A．l∈α B．l∥α C．l与α相交 D．l⊂α 解析：选D　根据基本事实2可知，l⊂α. 2．若直线l∥平面α，直线a⊂α，则(　 ) A．l∥a B．l与a异面 C．l与a相交 D．l与a没有公共点 解析：选D　若直线l∥平面α，直线a⊂α，则l∥a或l与a异面，故l与a没有公共点，故选D. 3．三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是(　 ) A．相交 B．平行 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 解析：选A　延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交．故选A. (三)空间中平面与平面的位置关系 位置关系 两个平面平行 两个平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号语言 α∥β α∩β＝l 图形语言 微点助解 判断平面与平面的位置关系的注意点 若α∥β，则其中一个平面内的直线与另一个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面内的直线有平行或异面的关系；若α∩β＝l，则其中一个平面内的直线与另一个平面平行或相交或直线在平面内，则其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线有平行或相交或异面的关系． [基点训练] 1．正方体的六个面中相互平行的平面有(　 ) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 解析：选B　正方体有6个面，有三组对面，这三组对面都相互平行． 2．若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是(　 ) A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 解析：选B　∵M∈平面α，M∈平面β，∴α与β相交于过点M的一条直线． 题型(一)　直线与直线位置关系的判断 [典例1]　 (1)如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是(　 ) (2)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　 ) A．平行 B．异面 C．相交 D．平行、相交或异面 [解析]　(1)A、B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交．故选C. (2)可借助长方体来判断．如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，